Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00046901

Что отсекает плоскость. Пусть $M$ — середина $AC$, $AC=2m$, боковое ребро $AA_1=h$. Треугольник $ABC$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому медиана $BM$ к гипотенузе равна её половине и перпендикулярна ей: $BM=m$, $BM\perp AC$.

Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$, а грань $ACC_1A_1$ проходит через $AC$. Значит, линия их пересечения параллельна $AC$: плоскость $\alpha$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $N_1$, причём $NN_1\parallel AC$. Тогда $ANN_1C$ — прямоугольник со сторонами $AC=2m$ и $AN=z$.

Под плоскостью $\alpha$ лежит пирамида $BANN_1C$ с вершиной $B$. Призма прямая, поэтому $AA_1\perp BM$. Вместе с $BM\perp AC$ это даёт $BM\perp ACC_1$, то есть $BM$ — высота этой пирамиды.

Пункт а. Объём пирамиды: $\dfrac13\cdot 2m\cdot z\cdot m=\dfrac{2m^2z}{3}$. Объём призмы: $\dfrac12\cdot 2m\cdot m\cdot h=m^2h$. Отношение объёмов равно $\dfrac{2z}{3h}$.

По условию пирамида занимает половину призмы: $\dfrac{2z}{3h}=\dfrac12$, откуда $z=\dfrac{3h}{4}$. Значит, $AN:AA_1=3:4$. Пункт а доказан.

Пункт б. Плоскость $BKP$ устроена так же: она проходит через $B$ параллельно $AC$, поэтому $KP\parallel AC$ и $AK=CP$. Многогранник $ABCKP$ — такая же пирамида с вершиной $B$, и для неё работает та же формула: $\dfrac{2\cdot AK}{3h}=\dfrac13$, откуда $AK=\dfrac h2$.

Обе плоскости проходят через $B$ и параллельны $AC$, поэтому обе содержат прямую $l$, проходящую через $B$ параллельно $AC$. Это их общая прямая. Пусть $M_1$ и $M_2$ — середины отрезков $NN_1$ и $KP$. Обе точки лежат на прямой, проходящей через $M$ параллельно боковым рёбрам, и $MM_1=\dfrac{3h}{4}$, $MM_2=\dfrac h2$.

Плоскость $BMM_1$ перпендикулярна $AC$ (в ней лежат $BM\perp AC$ и $MM_1\perp AC$), а значит, и прямой $l$. Поэтому $BM_1\perp l$ и $BM_2\perp l$, и угол между плоскостями равен углу $M_1BM_2$.

Возьмём $AB=6$, $AA_1=7$: от масштаба угол не зависит. Тогда $AC=6\sqrt2$, $BM=3\sqrt2$, $MM_1=\dfrac{21}{4}$, $MM_2=\dfrac72$. По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $BMM_1$ и $BMM_2$:

$$BM_1=\sqrt{18+\dfrac{441}{16}}=\dfrac{27}{4},\qquad BM_2=\sqrt{18+\dfrac{49}{4}}=\dfrac{11}{2}.$$

В треугольнике $M_1BM_2$ третья сторона $M_1M_2=\dfrac{21}{4}-\dfrac72=\dfrac74$. По теореме косинусов:

$$\cos\angle M_1BM_2=\dfrac{\frac{729}{16}+\frac{484}{16}-\frac{49}{16}}{2\cdot\frac{27}{4}\cdot\frac{11}{2}}=\dfrac{\frac{291}{4}}{\frac{297}{4}}=\dfrac{97}{99}.$$

Проверим через наклоны. Тангенсы углов $M_1BM$ и $M_2BM$ равны $\dfrac{21/4}{3\sqrt2}=\dfrac{7\sqrt2}{8}$ и $\dfrac{7/2}{3\sqrt2}=\dfrac{7\sqrt2}{12}$. Тангенс их разности: $\dfrac{\frac{7\sqrt2}{8}-\frac{7\sqrt2}{12}}{1+\frac{49}{48}}=\dfrac{14\sqrt2}{97}$. У угла с косинусом $\dfrac{97}{99}$ синус равен $\dfrac{\sqrt{99^2-97^2}}{99}=\dfrac{14\sqrt2}{99}$, тангенс тот же — сходится.

Про слово «прямой». В сборнике (вариант 4, с. 26) напечатано «треугольной призмы» без слова «прямой». Для пункта а это не важно, а угол из пункта б у наклонной призмы зависит от наклона рёбер: при тех же $AB=6$, $AA_1=7$ и высоте призмы $4$ косинус получается $\dfrac{8}{\sqrt{66}}$. Ответ сборника $\dfrac{97}{99}$ отвечает именно прямой призме, поэтому в условии это слово добавлено.