Планиметрия в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Планиметрия на ЕГЭ профиль открывает экзамен заданием 1 и почти закрывает его заданием 18 за 3 балла, а её теоремы работают внутри каждой стереометрической задачи. В базовом ЕГЭ планиметрия занимает задания 9, 10 и 12.

Суть простыми словами

Планиметрия работает с фигурами на плоскости: треугольниками, четырёхугольниками, окружностями. Основные инструменты: теорема Пифагора, подобие треугольников (отношение площадей равно квадрату отношения сторон), формулы площади, свойства вписанных углов и касательных.

Подобие работает так: если треугольники подобны с коэффициентом k, их периметры относятся как k, а площади как k². При k = 2 площадь больше в 4 раза.

Задание 18 состоит из двух пунктов: в а) доказывают свойство фигуры, в пункте б) по нему считают длину, угол или площадь. Пункт б) можно решать с опорой на утверждение а), даже если доказать его не вышло: по критериям демоверсии за верный ответ в б) без доказательства а) ставят 1 балл из 3.

Где встречается на экзамене

Профиль, по 2027 году:

• Задание 1 ЕГЭ профиль — несложная планиметрическая задача, краткий ответ, 1 балл;
• Задание 3 ЕГЭ профиль — стереометрия, но с фактами планиметрии в основании, 1 балл;
• Задание 15 ЕГЭ профиль — стереометрия на 3 балла, где планиметрия нужна для сечений и оснований;
• Задание 18 ЕГЭ профиль — планиметрическая задача с доказательством и вычислением, 3 балла. В 2026 году это было задание 17. В демоверсии 2027 окружность с центром O касается боковых сторон равнобедренного треугольника.

Базовый уровень: Задание 9 ЕГЭ база (квадратная решётка), Задание 10 ЕГЭ база (прикладная планиметрия), Задание 12 ЕГЭ база (планиметрия), по 1 баллу.

Где ошибаются

1. Берут свойство «с рисунка». Если в условии не сказано, что треугольник равнобедренный, его равнобедренность нельзя использовать, даже если чертёж так выглядит.
2. Путают соответственные стороны в подобных треугольниках. Запиши подобие по вершинам: △ABC ∼ △KLM означает, что A соответствует K, B — L, C — M.
3. Теряют обоснования в задании 18. Доказательство в пункте а) нельзя заменить числовым ответом пункта б).
4. Не узнают «пифагоровы» тройки. Адиль пишет, что тройки 3-4-5 и 5-12-13 «постоянно прячутся в тригонометрических и геометрических задачах», и если узнать тройку, «половину вычислений можно пропустить» (06.07.2026). Тройки работают и с множителем: 6-8-10, 9-12-15.

Шпаргалка за 30 секунд

Свойства треугольника и окружности лучше один раз «потрогать»: в тренажёрах «Треугольник: углы, медиана, высота» и «Окружность: вписанные углы, хорды, касательные» чертёж меняется под рукой. Потом — прототипы задания 1, а за доказательством для задания 18 приходи на пробное занятие.