Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00046902

Где находится точка $H$. Проведём в плоскости основания перпендикуляр $HP$ к прямой $AB$. По теореме о трёх перпендикулярах $SP\perp AB$, поэтому угол $SPH$ — угол между гранью $SAB$ и плоскостью $ABC$. В прямоугольном треугольнике $SHP$:

$$HP=\dfrac{SH}{\operatorname{tg}\angle SPH}=0{,}5:\dfrac{\sqrt5}{10}=\sqrt5.$$

Так же расстояние от $H$ до прямой $BC$ равно $\sqrt5$. Точка $H$ лежит внутри угла $ABC$ и одинаково удалена от его сторон, значит, она лежит на биссектрисе этого угла.

Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому биссектриса угла $B$ проходит через середину $M$ стороны $AC$ и перпендикулярна ей. Здесь $AM=2$, $BM=\sqrt{5-4}=1$, $\sin\angle ABM=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{\sqrt5}$.

В прямоугольном треугольнике $BPH$ катет $HP=\sqrt5$ лежит против угла $ABM$, поэтому $BH=\sqrt5:\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac52$. Это больше, чем $BM=1$: точка $H$ лежит на продолжении $BM$ за точку $M$, и $MH=\dfrac52-1=\dfrac32$.

Пункт а. Найдём расстояния от $H$ до вершин основания: $HB=\dfrac52$, а $HA=HC=\sqrt{AM^2+MH^2}=\sqrt{4+\dfrac94}=\dfrac52$. Точка $H$ равноудалена от $A$, $B$ и $C$ — это центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Центр сферы, описанной около пирамиды, равноудалён от $A$, $B$ и $C$. Все такие точки пространства лежат на прямой, проходящей через центр описанной окружности основания перпендикулярно его плоскости. Эта прямая проходит через $H$ перпендикулярно $ABC$, то есть это прямая $SH$.

Осталось показать, что центр попадает именно на луч. Возьмём на луче $SH$ точку $Q$ на расстоянии $d$ от $S$. Тогда $QH=|d-0{,}5|$ и $QA^2=QH^2+HA^2=(d-0{,}5)^2+\dfrac{25}{4}$. Условие $QS=QA$ даёт $d^2=d^2-d+\dfrac14+\dfrac{25}{4}$, откуда $d=6{,}5$.

Число положительное, значит, такая точка на луче $SH$ есть: она лежит за точкой $H$, на $6$ ниже плоскости основания. Для неё $QS=QA=QB=QC=6{,}5$ — это и есть центр описанной сферы. Пункт а доказан.

Пункт б. Отрезок $HM$ перпендикулярен $AC$, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $SM\perp AC$, и угол $SMH$ — угол между плоскостями $SAC$ и $ABC$. В прямоугольном треугольнике $SHM$:

$$\operatorname{tg}\angle SMH=\dfrac{SH}{HM}=\dfrac{0{,}5}{1{,}5}=\dfrac13.$$

Проверим точку $H$ другим способом. Радиус окружности, описанной около $ABC$, по теореме синусов равен $\dfrac{BC}{2\sin\angle A}$, где $\sin\angle A=\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt5}$. Получается $\dfrac{\sqrt5\cdot\sqrt5}{2}=\dfrac52$ — столько же, сколько $HB$.

Про последнюю фразу условия. В сборнике (вариант 5, с. 29) нет слов о том, что точка $H$ лежит внутри угла $ABC$. Без них на расстоянии $\sqrt5$ от прямых $AB$ и $BC$ находятся четыре точки плоскости, и для трёх из них утверждение пункта а неверно, а тангенс в пункте б получается другим ($\dfrac17$ или $\dfrac12$). Ответ сборника $\dfrac13$ отвечает точке внутри угла, поэтому условие уточнено.