Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00045602

Положим $A=(0;0)$, $D=(28;0)$, $B=(p;q)$, $C=(p+21;q)$, где $q\gt0$ — высота трапеции. Из длин боковых сторон $p^2+q^2=24^2$, $(7-p)^2+q^2=25^2$.

Вычитая, получаем $49-14p=49$, поэтому $p=0$, $q=24$. Значит, трапеция прямоугольная: $B=(0;24)$, $C=(21;24)$.

Пусть высота призмы $H$. По условию $BC_1=A_1C_1=AC$. Поэтому $21^2+H^2=21^2+24^2$, откуда $H=24$.

В основание вписывается окружность центра $(12;12)$ радиуса $12$. До прямых $AB$, $AD$, $BC$ расстояния равны $12$. Прямая $CD$ имеет уравнение $24x+7y-672=0$; расстояние до неё равно $|288+84-672|/25=12$. Центр находится внутри трапеции, поэтому это действительно вписанная окружность.

В пространстве точка $(12;12;12)$ удалена на $12$ от обеих плоскостей оснований и всех четырёх боковых граней. Шар радиуса $12$ с этим центром содержится в призме и касается всех её граней. Пункт а доказан.

Для пункта б $B=(0;24;0)$, $A_1=(0;0;24)$, $C_1=(21;24;24)$, $B_1=(0;24;24)$. Векторы $BA_1=(0;-24;24)$ и $BC_1=(21;0;24)$ перпендикулярны нормали $n=(-8;7;7)$.

Плоскость имеет уравнение $-8x+7y+7z-168=0$. Расстояние от $B_1$ равно $|0+168+168-168|/\sqrt{64+49+49}=168/(9\sqrt2)=28\sqrt2/3$.

Проверка: координаты всех трёх точек плоскости обращают её уравнение в ноль. Расстояние меньше $B_1B=24$, как и должно быть.