Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00045598

Расположим оси по диагоналям ромба. По теореме косинусов $AC^2=2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cos120^\circ=12$. Поэтому $AO=CO=\sqrt3$, а из прямоугольного треугольника $AOB$ получаем $BO=DO=1$.

Возьмём координаты $A=(-\sqrt3;0;0)$, $C=(\sqrt3;0;0)$, $B=(0;1;0)$, $D=(0;-1;0)$, $S=(0;0;\sqrt7)$. Пусть $t=CK/CS$, тогда $K=(\sqrt3(1-t);0;\sqrt7t)$ и $0\lt t\lt1$.

Проекция $DK$ на основание имеет длину $\sqrt{3(1-t)^2+1}$, вертикальная составляющая равна $\sqrt7t$. Из тангенса угла $30^\circ$ получаем $\sqrt7t/\sqrt{3(1-t)^2+1}=1/\sqrt3$.

Все величины положительны, поэтому возводим в квадрат: $21t^2=3(1-t)^2+1$, то есть $9t^2+3t-2=0$. Корни $t=(-3\pm9)/18$ равны $1/3$ и $-2/3$. Допустим только $1/3$, значит, $CK=CS/3$, $SK=2CS/3$, что доказывает $SK:KC=2:1$.

Теперь $K=(2\sqrt3/3;0;\sqrt7/3)$. Проведём плоскость через $DK$ параллельно $BC$. Направления прямых $u=(2\sqrt3/3;1;\sqrt7/3)$ и $v=(\sqrt3;-1;0)$. Вектор $N=(\sqrt7;\sqrt{21};-5\sqrt3)$ перпендикулярен обоим: $N\cdot u=2\sqrt{21}/3+\sqrt{21}-5\sqrt{21}/3=0$, $N\cdot v=\sqrt{21}-\sqrt{21}=0$.

Уравнение плоскости через $D$: $\sqrt7x+\sqrt{21}y-5\sqrt3z+\sqrt{21}=0$. Её расстояние до $B$ равно

$$d=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{7+21+75}}=\frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{103}}.$$

Проекция прямой $BC$ на эту плоскость пересекает $DK$, поскольку их направления не параллельны. Через точку пересечения проходит общий перпендикуляр исходных прямых. Поэтому найденное расстояние до плоскости равно расстоянию между прямыми.

Проверим угол: при $t=1/3$ высота $K$ равна $\sqrt7/3$, проекция имеет длину $\sqrt{4/3+1}=\sqrt{21}/3$. Их отношение $1/\sqrt3$, как требуется.