Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00045599

Обозначим сторону основания через $a$, высоту призмы через $h$. Плоскость через $B$, параллельная $AC$, пересекает вертикальные рёбра над $A$ и $C$ на одинаковой высоте $z$: её след на боковой грани параллелен $AC$.

Многогранник под сечением — пирамида с вершиной $B$ и прямоугольным основанием в плоскости грани $ACC_1A_1$. Площадь этого основания $az$, расстояние от $B$ до его плоскости равно высоте равностороннего треугольника $d=a\sqrt3/2$. Его объём $azd/3$.

Объём всей призмы $adh/2$. Их отношение $(azd/3)/(adh/2)=2z/(3h)$. Если плоскость делит призму пополам, $2z/(3h)=1/2$, значит, $z=3h/4$. Поэтому $AN:NA_1=(3h/4):(h/4)=3:1$.

В пункте б нижний многогранник имеет треть объёма призмы. Из $2z/(3h)=1/3$ получаем $AK=CP=h/2$.

Для угла проведём через $B$ вертикальную плоскость, перпендикулярную $AC$. Она содержит высоту $BM$ основания, где $M$ — середина $AC$. Общая прямая двух исследуемых плоскостей проходит через $B$ параллельно $AC$, поэтому угол их следов в выбранной перпендикулярной плоскости — искомый двугранный угол.

Следы направлены от $B$ к точкам над $M$ на высотах $3h/4$ и $h/2$. Их направляющие векторы в этом сечении: $(d;3h/4)$ и $(d;h/2)$. Косинус угла равен их скалярному произведению, делённому на произведение длин.

Из $a:h=3:2$ можно взять $a=3$, $h=2$ без изменения угла. Тогда $d=3\sqrt3/2$, скалярное произведение $d^2+(3/2)\cdot1=27/4+6/4=33/4$. Длины равны $\sqrt{27/4+9/4}=3$ и $\sqrt{27/4+1}=\sqrt{31}/2$.

Получаем $\cos\varphi=(33/4)/(3\sqrt{31}/2)=11/(2\sqrt{31})=11\sqrt{31}/62$.

Проверим по наклонам следов: их тангенсы $\sqrt3/3$ и $2/(3\sqrt3)$; формула косинуса разности углов даёт то же отношение скалярного произведения к длинам. Оно меньше 1, поскольку $121\lt124$.