Тела вращения в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Тела вращения в ЕГЭ по математике профиль — цилиндр, конус и шар: короткие задачи на объём и поверхность стоят в задании 3, а в развёрнутом задании 15 тела вращения входят в стереометрию по спецификации. В базовом ЕГЭ они встречаются в заданиях 11 и 13, хотя в кодификаторе элемент 7.4 помечен только для профильного уровня.

Суть простыми словами

Всё держится на пяти формулах и одном приёме. Цилиндр: V = πR²h, боковая поверхность 2πRh. Конус: V = ⅓πR²h, боковая поверхность πRl, где образующая l связана с высотой: l² = R² + h². Шар: V = (4/3)πR³, поверхность 4πR².

Примеры. Цилиндр с R = 3 и h = 5: V = π·9·5 = 45π. Конус с R = 3 и h = 4: образующая l = 5, V = ⅓π·9·4 = 12π, боковая поверхность π·3·5 = 15π. Шар с R = 3: V = (4/3)π·27 = 36π и поверхность 4π·9 = 36π.

Приём — свести пространственную задачу к плоскому осевому сечению: у цилиндра это прямоугольник, у конуса равнобедренный треугольник, у шара круг. Дальше работают теорема Пифагора и подобие.

Отдельное правило: если тела подобны с коэффициентом k, объёмы относятся как k³, площади поверхностей как k².

В задании 3 демо-2027 цилиндр объёмом 18 описан около шара. Значит, высота цилиндра равна диаметру шара: V цилиндра = πR²·2R = 2πR³, а V шара = (4/3)πR³, то есть две трети цилиндра. Ответ 12.

Если спрашивают полную поверхность, к боковой добавляют основания: у цилиндра 2πRh + 2πR², у конуса πRl + πR².

Где встречается на экзамене

Где ошибаются

1. Забывают ⅓. Объём конуса — треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.
2. Делят на 2,5 вместо 6,25. В базовом демо радиус сосуда вырос в 2,5 раза, а площадь дна — в 2,5² = 6,25 раза. Поэтому уровень воды 50 см падает до 8 см, а не до 20.
3. Подставляют высоту вместо образующей. Боковая поверхность конуса считается через l: у конусов из базового демо (радиус и образующая 3 и 6, 4 и 9) боковые площади относятся как 4·9 : (3·6) = 2.
4. Делят объём на 3, а не на 27. В базовом демо плоскость отсекает конус по точке, делящей высоту 1 : 2 от вершины. Малый конус подобен большому с k = 1/3, его объём в 27 раз меньше: при 10 у малого у большого 270.
5. Считают боковую поверхность, когда просят полную. У цилиндра с R = 3 и h = 5 боковая поверхность 30π, а полная 30π + 2·9π = 48π.

Шпаргалка за 30 секунд

Подобные тела: длины в k раз, площади в k² раз, объёмы в k³ раз.

Реши цилиндр с шаром из 3 задание ЕГЭ профиль и конус, рассечённый плоскостью, из 13 задание ЕГЭ база, и для каждой задачи нарисуй осевое сечение. Призмы и пирамиды из того же третьего номера собраны в теме Многогранники ЕГЭ профиль. Первые сечения для задания 15 удобнее строить не в одиночку: на пробном занятии это делают вместе с преподавателем.