Задание 15 ЕГЭ по математике №00043721

Обе плоскости из условия содержат прямые, параллельные $AE$: плоскость $AED_1$ — саму $AE$, плоскость $CA_1E_1$ — прямую $A_1E_1\parallel AE$. Поэтому всё решается в одной плоскости, перпендикулярной $AE$, — в плоскости грани $ABB_1A_1$.

Подготовка. $ABDE$ — прямоугольник, значит, $AE\perp AB$; призма прямая, значит, $AE\perp AA_1$. Поэтому $AE\perp$ плоскости $ABB_1A_1$.

Плоскость $AED_1$ содержит $D_1$ и прямую $AE$, а значит, и прямую через $D_1$, параллельную $AE$, — это $D_1B_1$ (ведь $B_1D_1\parallel BD\parallel AE$). Итак, плоскость $AED_1$ — это плоскость $AED_1B_1$, и в ней лежит отрезок $AB_1$.

Точка $C$: треугольник $BCD$ равнобедренный, $BD=AE=4\sqrt5$, высота из $C$ на $BD$ равна $\sqrt{BC^2-\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=\sqrt{36-20}=4$. Опустим из $C$ перпендикуляр $CC'$ на прямую $AB$; так как $AB\perp BD$, точка $C'$ лежит на продолжении $AB$ за $B$, и $BC'=4$, $AC'=5+4=9$. При этом $CC'\parallel AE$.

Плоскость $CA_1E_1$ содержит $C$ и прямую $A_1E_1\parallel AE$, значит, и прямую через $C$, параллельную $AE$, — это $CC'$. Поэтому $C'$ лежит в плоскости $CA_1E_1$, а с ней и отрезок $A_1C'$.

Пункт а. В плоскости $ABB_1A_1$ сравним прямые $AB_1$ и $C'A_1$. Пусть $\angle B_1AB=\varphi$, $\angle A_1C'A=\psi$:

$$\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{BB_1}{AB}=\dfrac{3\sqrt5}{5},\qquad\operatorname{tg}\psi=\dfrac{AA_1}{AC'}=\dfrac{3\sqrt5}{9}.$$

$\operatorname{tg}\varphi\cdot\operatorname{tg}\psi=\dfrac{45}{45}=1$, поэтому $\varphi+\psi=90^\circ$. В треугольнике, образованном прямыми $AB_1$, $C'A_1$ и $AC'$, два угла в сумме дают $90^\circ$, значит, третий — прямой: $AB_1\perp C'A_1$.

Прямая $C'A_1$ перпендикулярна $AB_1$ и $AE$ (так как $AE\perp$ плоскости $ABB_1A_1$) — двум пересекающимся прямым плоскости $AED_1$. Значит, $C'A_1\perp$ плоскости $AED_1$. Плоскость $CA_1E_1$ содержит эту прямую, поэтому она перпендикулярна плоскости $AED_1$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Многогранник $CAED_1B_1$ — пирамида с вершиной $C$ и основанием $AED_1B_1$. Основание — прямоугольник: $AE\parallel B_1D_1$, $AE=B_1D_1$ и $AE\perp AB_1$. Его площадь $AE\cdot AB_1$.

Высота пирамиды — расстояние от $C$ до плоскости $AED_1$. Прямая $CC'$ параллельна $AE$, то есть параллельна этой плоскости, поэтому расстояние от $C$ равно расстоянию от $C'$. А из $C'$ перпендикуляр на плоскость идёт по прямой $C'A_1$ (пункт а) и попадает на прямую $AB_1$; это высота $C'L$ треугольника $AB_1C'$ к стороне $AB_1$.

Удвоенная площадь треугольника $AB_1C'$ равна $AC'\cdot BB_1$ (основание $AC'$, высота $BB_1$) и равна $AB_1\cdot C'L$. Поэтому $AB_1\cdot C'L=9\cdot3\sqrt5=27\sqrt5$.

$$V=\dfrac13\cdot AE\cdot AB_1\cdot C'L=\dfrac13\cdot4\sqrt5\cdot27\sqrt5=\dfrac{4\cdot27\cdot5}{3}=180.$$

Проверим себя: $AB_1=\sqrt{25+45}=\sqrt{70}$, $C'L=\dfrac{27\sqrt5}{\sqrt{70}}$; площадь основания $4\sqrt5\cdot\sqrt{70}$, и $\dfrac13\cdot4\sqrt5\sqrt{70}\cdot\dfrac{27\sqrt5}{\sqrt{70}}=180$ — то же самое.