Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022448

а) Смотри, что удобно заметить: точки $N$ и $L$ не случайны. $N$ — это пересечение прямой $RM$ с ребром $AS$, значит $N$ лежит на прямой $RM$; а $L$ — пересечение прямой $RK$ с $BC$, значит $L$ лежит на прямой $RK$. Итак, на прямой $RM$ сидят сразу три точки — $R$, $M$, $N$, а на прямой $RK$ — точки $R$, $K$, $L$.

Две прямые $RM$ и $RK$ выходят из одной точки $R$, поэтому они задают одну плоскость — назовём её $\pi$. В этой плоскости лежат и $M$, и $N$ (они на $RM$), и $K$, и $L$ (они на $RK$). Стало быть, все четыре точки $M$, $K$, $N$, $L$ — в одной плоскости $\pi$. А раз прямые $MK$ и $NL$ лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны — третьего не дано.

Осталось исключить параллельность. Из вершины $R$ по одному лучу идут $N$ и $M$, по другому — $L$ и $K$. Прямые $MK$ и $NL$ были бы параллельны лишь при $RM:RN=RK:RL$ (признак Фалеса). Посчитаем эти отношения на удобных координатах $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $S(0;0;1)$ (сами отношения от выбора координат не зависят). Из условия $2BL=3LC$, то есть $BL:LC=3:2$, находим $L\left(\tfrac25;\tfrac35;0\right)$; затем из того, что $R$, $K$, $L$ на одной прямой, получаем $R(-2;0;3)$. Отсюда $RN:RM=4:5$, а $RL:RK=6:5$, то есть $RM:RN=5:4\ne5:6=RK:RL$. Прямые не параллельны — а значит, лежа в одной плоскости, они пересекаются. Что и требовалось.