Задание 15 ЕГЭ по математике №00043722

Обе плоскости содержат прямые, параллельные $AE$ ($AE$ и $A_1E_1$). Значит, их взаимное расположение видно в любой плоскости $\beta$, перпендикулярной $AE$: если следы плоскостей в $\beta$ перпендикулярны, то и плоскости перпендикулярны.

Размеры основания. Трапеция $ABDE$ равнобедренная, $BD=6$, $AE=4$, $AB=DE=2$. Проекция боковой стороны на основание равна полуразности оснований: $\dfrac{6-4}{2}=1$. Высота трапеции $\sqrt{4-1}=\sqrt3$. Треугольник $BCD$ правильный со стороной $6$, его высота $3\sqrt3$, и $C$ лежит по другую сторону от $BD$, чем $AE$. Значит, расстояние от $C$ до прямой $AE$ равно $\sqrt3+3\sqrt3=4\sqrt3$.

Плоскость $\beta$. Проведём через $A$ плоскость $\beta\perp AE$; она вертикальна (содержит $AA_1$). Спроецируем на неё всё вдоль $AE$:

точки $A$ и $E$ — в $A$; точки $A_1$, $E_1$ — в $A_1$, $AA_1=2\sqrt3$;

точки $B$, $D$ — в точку $T$ основания, $AT=\sqrt3$; точки $B_1$, $D_1$ — в $T_1$ над $T$, $TT_1=2\sqrt3$;

точка $C$ — в точку $C'$ основания, $AC'=4\sqrt3$, причём $T$ лежит между $A$ и $C'$.

Плоскость $AED_1$ содержит $B_1$ (прямая $D_1B_1\parallel AE$) и проектируется в прямую $AT_1$. Плоскость $CA_1E_1$ проектируется в прямую $C'A_1$; при этом сама прямая $C'A_1$ лежит в плоскости $CA_1E_1$, потому что $CC'\parallel AE\parallel A_1E_1$.

Пункт а. В плоскости $\beta$:

$$\operatorname{tg}\angle T_1AT=\dfrac{TT_1}{AT}=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt3}=2,\qquad\operatorname{tg}\angle A_1C'A=\dfrac{AA_1}{AC'}=\dfrac{2\sqrt3}{4\sqrt3}=\dfrac12.$$

Произведение тангенсов равно $1$, значит, углы в сумме дают $90^\circ$, и $AT_1\perp C'A_1$.

Прямая $C'A_1$ перпендикулярна $AT_1$ и $AE$ (она лежит в $\beta\perp AE$), а они пересекаются и лежат в плоскости $AED_1$. Значит, $C'A_1\perp$ плоскости $AED_1$, и плоскость $CA_1E_1$, содержащая $C'A_1$, перпендикулярна ей. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $CAED_1B_1$ — пирамида с вершиной $C$ и основанием-трапецией $AED_1B_1$ (стороны $AE=4$, $B_1D_1=6$ параллельны). Высота этой трапеции — расстояние между прямыми $AE$ и $B_1D_1$, это $AT_1=\sqrt{3+12}=\sqrt{15}$. Площадь основания $\dfrac{4+6}{2}\sqrt{15}=5\sqrt{15}$.

Высота пирамиды — расстояние от $C$ до плоскости, равное расстоянию от $C'$ до прямой $AT_1$ в $\beta$ (так как $CC'$ параллельна плоскости). Через площадь треугольника $AC'T_1$: $S=\dfrac12\cdot AC'\cdot TT_1=\dfrac12\cdot4\sqrt3\cdot2\sqrt3=12$, высота $\dfrac{2\cdot12}{\sqrt{15}}=\dfrac{24}{\sqrt{15}}$.

$$V=\dfrac13\cdot5\sqrt{15}\cdot\dfrac{24}{\sqrt{15}}=40.$$

Проверим себя: прямая $C'A_1$ при пересечении с $AT_1$ должна давать ту же высоту. Длина $C'A_1=\sqrt{48+12}=\sqrt{60}$; в прямоугольном треугольнике $AA_1C'$ высота из $A$ на $C'A_1$ равна $\dfrac{4\sqrt3\cdot2\sqrt3}{\sqrt{60}}=\dfrac{24}{\sqrt{60}}$, и отрезок от $C'$ до точки пересечения равен $\sqrt{48-\dfrac{576}{60}}=\sqrt{38{,}4}=\dfrac{24}{\sqrt{15}}$ — совпало.