Многогранники в ЕГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Многогранники на ЕГЭ профиль — это призмы, пирамиды и параллелепипеды, у которых ищут объём, площадь поверхности, диагональ, угол или расстояние. Короткий ответ дают в задании 3 за 1 балл, полное решение — в задании 15 за 3 балла; в базовом экзамене многогранники встречаются в заданиях 11 и 13.

Суть простыми словами

Многогранник — тело, ограниченное плоскими гранями. Главные формулы:

• прямая призма: V = S·h, боковая поверхность Sбок = P·h (S и P — площадь и периметр основания);
• пирамида: V = ⅓S·h;
• прямоугольный параллелепипед: V = abc, диагональ d = √(a² + b² + c²), полная поверхность 2(ab + bc + ca).

Пример 1. Параллелепипед 2 × 3 × 6. Объём 36. Поверхность 2(6 + 18 + 12) = 72. Диагональ √(4 + 9 + 36) = 7.

Пример 2. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Объём ⅓ · 36 · 4 = 48. Апофема (высота боковой грани) √(3² + 4²) = 5. Боковая поверхность: ½ · периметр · апофема = ½ · 24 · 5 = 60.

Правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр.

Адиль: «Стереометрия пугает названием, но 90% задач - это два применения одной теоремы Пифагора подряд» (пост от 02.07.2026). Большая часть задач про многогранники — именно так.

Где встречается на экзамене

• Задание 3 ЕГЭ профиль — стереометрия с кратким ответом: объём, площадь поверхности, углы и расстояния в простых телах. Первая часть, 1 балл. В демоверсии 2027 плоскость через среднюю линию основания треугольной призмы отсекает призму с боковой поверхностью 18. Стороны основания у отсечённой призмы вдвое меньше, а боковые рёбра те же, поэтому её боковая поверхность — ровно половина исходной: ответ 36;
• Задание 15 ЕГЭ профиль — стереометрия на 3 балла: а) докажите, б) найдите угол, расстояние или объём;
• Задание 11 ЕГЭ база — прикладная стереометрия и Задание 13 ЕГЭ база — стереометрия в базовом экзамене, по 1 баллу.

Где ошибаются

1. Теряют ⅓ у пирамиды. Пирамида втрое меньше призмы с тем же основанием и высотой: в примере 48, а не 144.
2. Путают апофему и боковое ребро. Апофема — высота боковой грани, ребро — её сторона; в пирамиде из примера это 5 и √34.
3. Принимают апофему за высоту пирамиды. Высота опущена из вершины на плоскость основания, апофема лежит в боковой грани. В примере высота 4, апофема 5, и объём через апофему вышел бы 60 вместо 48.
4. Забывают основания в полной поверхности. К боковой поверхности нужно добавить площади оснований: 60 + 36 = 96.

Шпаргалка за 30 секунд

Диагональ: у параллелепипеда √(a² + b² + c²), у куба a√3.

Формулы держатся в памяти, когда их применяешь: начни с прототипов задания 3. Цилиндр, конус и шар — на соседней странице тела вращения ЕГЭ профиль. Как оформить пункт а) задания 15, чтобы доказательство засчитали, покажем на пробном занятии.