а) Поставим основание в координаты: A(0;0;0), B(8;0;0), C(8;8;0), D(0;8;0), O(4;4;0). Из SA=7 высота h=\sqrt{49-32}=\sqrt{17}, S(4;4;\sqrt{17}). Тогда M(2;0;0) и K\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};\tfrac{6\sqrt{17}}{7}\right).

Плоскость \alpha перпендикулярна основанию, значит она вертикальна, и её след на основании — прямая через M и через проекцию K_1\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};0\right) точки K. Проверим, проходит ли эта прямая через C(8;8): направление от M(2;0) к K_1 равно (3;4), и от M к C — вектор (6;8), тоже направления (3;4). Значит, M, K_1, C на одной прямой, и вертикальная плоскость \alpha содержит точку C. Что и требовалось.

б) Сечение — треугольник MKC: плоскость \alpha проходит через M (на AB), K (на SB) и C (вершина), задевая грани SAB, SBC и основание. Основание треугольника — отрезок MC в плоскости основания: MC=\sqrt{6^2+8^2}=10.

Высота треугольника из K на прямую MC равна высоте точки K над основанием, ведь проекция K падает как раз на прямую MC: она равна z_K=\tfrac{6\sqrt{17}}{7}. Значит S_{MKC}=\tfrac12\cdot MC\cdot z_K=\tfrac12\cdot10\cdot\tfrac{6\sqrt{17}}{7}=\dfrac{30\sqrt{17}}{7}.

Проверка векторным произведением: |\vec{MC}\times\vec{MK}|=\tfrac{60\sqrt{17}}{7}, половина — \dfrac{30\sqrt{17}}{7} — всё сходится.