Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022453

а) Поставим основание в координаты: $A(0;0;0)$, $B(8;0;0)$, $C(8;8;0)$, $D(0;8;0)$, $O(4;4;0)$. Из $SA=7$ высота $h=\sqrt{49-32}=\sqrt{17}$, $S(4;4;\sqrt{17})$. Тогда $M(2;0;0)$ и $K\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};\tfrac{6\sqrt{17}}{7}\right)$.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна основанию, значит она вертикальна, и её след на основании — прямая через $M$ и через проекцию $K_1\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};0\right)$ точки $K$. Проверим, проходит ли эта прямая через $C(8;8)$: направление от $M(2;0)$ к $K_1$ равно $(3;4)$, и от $M$ к $C$ — вектор $(6;8)$, тоже направления $(3;4)$. Значит, $M$, $K_1$, $C$ на одной прямой, и вертикальная плоскость $\alpha$ содержит точку $C$. Что и требовалось.

б) Сечение — треугольник $MKC$: плоскость $\alpha$ проходит через $M$ (на $AB$), $K$ (на $SB$) и $C$ (вершина), задевая грани $SAB$, $SBC$ и основание. Основание треугольника — отрезок $MC$ в плоскости основания: $MC=\sqrt{6^2+8^2}=10$.

Высота треугольника из $K$ на прямую $MC$ равна высоте точки $K$ над основанием, ведь проекция $K$ падает как раз на прямую $MC$: она равна $z_K=\tfrac{6\sqrt{17}}{7}$. Значит $S_{MKC}=\tfrac12\cdot MC\cdot z_K=\tfrac12\cdot10\cdot\tfrac{6\sqrt{17}}{7}=\dfrac{30\sqrt{17}}{7}$.

Проверка векторным произведением: $|\vec{MC}\times\vec{MK}|=\tfrac{60\sqrt{17}}{7}$, половина — $\dfrac{30\sqrt{17}}{7}$ — всё сходится.