Комбинации… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043724

Центр шара $I$, вписанного в правильную пирамиду, лежит на высоте $SO$ на расстоянии $r$ от основания. Плоскость $\alpha$ — на высоте $\dfrac{SO}{2}$. Найдём $r$ и $SO$ и сравним.

Размеры пирамиды. Сторона основания $2\sqrt3$. Радиус описанной окружности основания $\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt3}=2$, вписанной — $1$. Высота $SO=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3$. Апофема $SM=\sqrt{SO^2+1^2}=\sqrt{13}$.

Радиус шара через объём. Шар касается всех четырёх граней, поэтому пирамиду можно разрезать на четыре пирамиды с общей вершиной $I$ и высотой $r$. Отсюда $V=\dfrac13rS_{\text{полн}}$, то есть $r=\dfrac{3V}{S_{\text{полн}}}$.

Площадь основания $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot(2\sqrt3)^2=3\sqrt3$, объём $V=\dfrac13\cdot3\sqrt3\cdot2\sqrt3=6$.

Боковая поверхность: три треугольника с основанием $2\sqrt3$ и высотой $\sqrt{13}$: $3\cdot\dfrac12\cdot2\sqrt3\cdot\sqrt{13}=3\sqrt{39}$. Полная: $3\sqrt3+3\sqrt{39}$.

$$r=\dfrac{18}{3\sqrt3+3\sqrt{39}}=\dfrac{6}{\sqrt3+\sqrt{39}}=\dfrac{6(\sqrt{39}-\sqrt3)}{39-3}=\dfrac{\sqrt{39}-\sqrt3}{6}.$$

Пункт а. Плоскость $\alpha$ на высоте $\sqrt3$, центр шара на высоте $r$. Общих точек нет, если $\sqrt3-r\gt r$, то есть $r\lt\dfrac{\sqrt3}{2}$:

$$\dfrac{\sqrt{39}-\sqrt3}{6}\lt\dfrac{\sqrt3}{2}\ \Longleftrightarrow\ \sqrt{39}-\sqrt3\lt3\sqrt3\ \Longleftrightarrow\ \sqrt{39}\lt4\sqrt3=\sqrt{48}.$$

Верно, так как $39\lt48$. Расстояние от центра до плоскости больше радиуса — общих точек нет. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Расстояние от центра шара до $\alpha$:

$$\sqrt3-r=\sqrt3-\dfrac{\sqrt{39}-\sqrt3}{6}=\dfrac{6\sqrt3-\sqrt{39}+\sqrt3}{6}=\dfrac{7\sqrt3-\sqrt{39}}{6}.$$

Проверим $r$ другим способом — через биссектрису в треугольнике $SOM$ (катеты $SO=2\sqrt3$, $OM=1$, гипотенуза $\sqrt{13}$): $r=SO\cdot\dfrac{OM}{OM+SM}=\dfrac{2\sqrt3}{1+\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt3(\sqrt{13}-1)}{12}=\dfrac{\sqrt{39}-\sqrt3}{6}$ — совпало. Численно $r\approx0{,}752$, расстояние $\approx0{,}980$.