Задание 15 ЕГЭ по математике №00043720

Плоскость $\alpha$ проходит через $MN$ параллельно $SO$. Посмотрим, как она режет плоскость $SBD$, а затем перенесём рассуждение на $SAC$.

Пункт а. Средняя линия $MN$ пересекает диагональ $BD$ в её середине $R$, а диагональ $AC$ — в её середине $P$.

Диагонали делятся точкой $O$ в отношении оснований: $\dfrac{DO}{OB}=\dfrac{AD}{BC}\gt1$. Поэтому $DO\gt\dfrac{BD}{2}=DR$, и $R$ лежит на отрезке $DO$. Аналогично $P$ лежит на отрезке $AO$.

Плоскость $SBD$ содержит $SO\parallel\alpha$, поэтому $\alpha$ пересекает её по прямой через $R$, параллельной $SO$. В треугольнике $DOS$ эта прямая встречает $DS$ в точке $R'$, и

$$\dfrac{DR'}{DS}=\dfrac{DR}{DO}=\dfrac{BD/2}{\dfrac{AD}{AD+BC}BD}=\dfrac{AD+BC}{2AD}.$$

Так же в плоскости $SAC$ получаем точку $P'$ на $SA$ с тем же отношением $\dfrac{AP'}{AS}=\dfrac{AD+BC}{2AD}$.

Поскольку $\dfrac{SP'}{SA}=\dfrac{SR'}{SD}$, отрезок $P'R'$ параллелен $AD$ и равен $AD\cdot\dfrac{SP'}{SA}=AD\cdot\dfrac{AD-BC}{2AD}=\dfrac{AD-BC}{2}$.

Сечение $MNR'P'$: основания $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$ и $P'R'=\dfrac{AD-BC}{2}$ параллельны (оба параллельны $AD$) и не равны. Это трапеция. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $AD=8{,}5$, $BC=7{,}5$, $SO=6{,}5$.

$MN=\dfrac{16}{2}=8$, $P'R'=\dfrac{1}{2}=0{,}5$.

Высота трапеции — отрезок $RR'$: он параллелен $SO$, а $SO\perp AD\parallel MN$, так что $RR'$ перпендикулярен обоим основаниям. Из подобия треугольников $DRR'$ и $DOS$:

$$RR'=SO\cdot\dfrac{DR}{DO}=6{,}5\cdot\dfrac{16}{17}=\dfrac{104}{17}.$$

$$S=\dfrac{8+0{,}5}{2}\cdot\dfrac{104}{17}=\dfrac{17}{4}\cdot\dfrac{104}{17}=26.$$

Проверим себя: $\dfrac{AD+BC}{2AD}=\dfrac{16}{17}\lt1$ — точки $P'$ и $R'$ действительно лежат на рёбрах, а не на продолжениях.