Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00046903

Расстояния от $H$ до сторон. Пусть $P$ и $Q$ — основания перпендикуляров из $H$ на прямые $AB$ и $BC$. По теореме о трёх перпендикулярах $SP\perp AB$ и $SQ\perp BC$, поэтому углы $SPH$ и $SQH$ — углы между гранями $SAB$, $SBC$ и плоскостью основания. Прямоугольные треугольники $SHP$ и $SHQ$ равны по катету $SH$ и острому углу, значит, $HP=HQ$:

$$HP=HQ=\dfrac{SH}{\operatorname{tg}\angle SPH}=\sqrt6:\dfrac{2\sqrt3}{3}=\dfrac{3\sqrt6}{2\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt2}{2}.$$

Положение точки $H$. Точка $H$ лежит внутри угла $ABC$ и равноудалена от его сторон, поэтому она лежит на биссектрисе угла $B$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ эта биссектриса — ещё и высота, и медиана $BM$: $AM=\sqrt6$, $BM=\sqrt{9-6}=\sqrt3$.

Синус половины угла $B$: $\sin\angle ABM=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{\sqrt6}{3}$. В прямоугольном треугольнике $BPH$ катет $HP$ лежит против этого угла, поэтому

$$BH=\dfrac{HP}{\sin\angle ABM}=\dfrac{3\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{3}{\sqrt6}=\dfrac{9}{2\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{2}.$$

Это больше $BM=\sqrt3$, поэтому $H$ лежит за точкой $M$, по другую сторону от прямой $AC$, чем вершина $B$, и $MH=\dfrac{3\sqrt3}{2}-\sqrt3=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Пункт а. Сравним расстояния от $H$ до вершин основания. $HA=HC=\sqrt{AM^2+MH^2}=\sqrt{6+\dfrac34}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$, и $HB=\dfrac{3\sqrt3}{2}$. Значит, $H$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Центр сферы, проходящей через $A$, $B$ и $C$, проектируется на плоскость $ABC$ в центр этой окружности, то есть в точку $H$. Поэтому он лежит на прямой $SH$.

Проверим, что он лежит на луче $SH$. Пусть точка $O$ луча $SH$ удалена от $S$ на расстояние $d$. Тогда $OH=|d-\sqrt6|$, $OA^2=(d-\sqrt6)^2+\dfrac{27}{4}$. Из равенства $OS=OA$: $d^2=d^2-2\sqrt6\,d+6+\dfrac{27}{4}$, откуда $d=\dfrac{51}{8\sqrt6}=\dfrac{17\sqrt6}{16}$.

Получилось положительное число, причём $\dfrac{17\sqrt6}{16}\gt\sqrt6$: точка $O$ лежит на луче $SH$ за точкой $H$, чуть ниже плоскости основания. Она равноудалена от $S$, $A$, $B$, $C$ — это центр описанной сферы. Пункт а доказан.

Пункт б. Прямая $HM$ перпендикулярна $AC$, значит, и $SM\perp AC$ (теорема о трёх перпендикулярах). Угол между плоскостями $ABC$ и $SAC$ — это угол $SMH$:

$$\operatorname{tg}\angle SMH=\dfrac{SH}{HM}=\sqrt6:\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt2.$$

Проверка радиуса по формуле: площадь треугольника $ABC$ равна $\dfrac12\cdot2\sqrt6\cdot\sqrt3=3\sqrt2$, радиус описанной окружности $\dfrac{3\cdot3\cdot2\sqrt6}{4\cdot3\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$ — совпал с $HB$.

Про последнюю фразу условия. В сборнике (вариант 6, с. 33) не сказано, что точка $H$ лежит внутри угла $ABC$. Без этого условию удовлетворяют четыре положения точки $H$; для трёх из них пункт а неверен, а в пункте б получается $\dfrac{2\sqrt2}{5}$ или $\sqrt2$. Ответ сборника $2\sqrt2$ отвечает точке внутри угла, поэтому условие уточнено.