Задание 15 ЕГЭ по математике №00043723

Шар вписан в правильную пирамиду, поэтому его центр $I$ лежит на высоте $SO$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте и проходит через её середину. Всё сводится к сравнению двух чисел: радиуса шара $r$ и расстояния от $I$ до $\alpha$.

Размеры пирамиды. Сторона основания $6$. Радиус описанной окружности основания $R=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3$, вписанной — $OM=\dfrac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3$ ($M$ — середина стороны $BC$). Высота $SO=\sqrt{SA^2-R^2}=\sqrt{13-12}=1$. Апофема $SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{1+3}=2$.

Радиус шара. Рассмотрим сечение плоскостью $SOM$ — прямоугольный треугольник с катетами $SO=1$, $OM=\sqrt3$ и гипотенузой $SM=2$. Шар касается основания в точке $O$ и грани $SBC$ в точке на $SM$, поэтому центр $I$ лежит на биссектрисе угла $SMO$ и $IO=r$. По свойству биссектрисы $\dfrac{SI}{IO}=\dfrac{SM}{OM}$:

$$r=IO=SO\cdot\dfrac{OM}{OM+SM}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3+2}=\sqrt3(2-\sqrt3)=2\sqrt3-3.$$

(Домножили на $2-\sqrt3$: $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1$.)

Пункт а. Плоскость $\alpha$ находится на высоте $\dfrac12$ над основанием, центр $I$ — на высоте $r$. Расстояние от центра до плоскости $\left|\dfrac12-r\right|$. Плоскость пересекает шар по окружности (больше чем в одной точке), если это расстояние меньше $r$.

$r=2\sqrt3-3$. Сравним с $\dfrac14$: $2\sqrt3\gt3{,}25$, так как $12\gt3{,}25^2=10{,}5625$. Значит, $r\gt\dfrac14$. И $r\lt\dfrac12$, так как $2\sqrt3\lt3{,}5$ ($12\lt12{,}25$).

Тогда расстояние $\dfrac12-r\lt\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14\lt r$. Плоскость пересекает шар по окружности. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Радиус окружности сечения $\rho$ — по теореме Пифагора:

$$\rho^2=r^2-\left(\dfrac12-r\right)^2=r^2-\dfrac14+r-r^2=r-\dfrac14=2\sqrt3-3-0{,}25=2\sqrt3-3{,}25.$$

Площадь сечения $\pi\rho^2=(2\sqrt3-3{,}25)\pi$.

Проверим себя: $2\sqrt3\approx3{,}464$, так что $\rho^2\approx0{,}214\gt0$ — круг существует, и он меньше большого круга шара: $0{,}214\lt r^2\approx0{,}215$.