Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00045603

Выберем координаты основания $A=(0;0)$, $D=(20;0)$, $B=(p;q)$, $C=(p+5;q)$, $q\gt0$. Длины сторон дают $p^2+q^2=64$, $(15-p)^2+q^2=289$.

Вычитая, получаем $225-30p=225$, поэтому $p=0$, $q=8$. Пусть высота призмы $H$. Равенство $BD=DA_1$ означает $20^2+8^2=20^2+H^2$, откуда $H=8$.

В основании окружность с центром $(4;4)$ и радиусом $4$ касается прямых $AB$, $AD$, $BC$. Для четвёртой стороны $CD$ уравнение $8x+15y-160=0$, расстояние центра $|32+60-160|/17=4$. Центр лежит внутри трапеции, поэтому окружность вписана.

Следовательно, шар центра $(4;4;4)$ радиуса $4$ касается обоих оснований призмы высотой $8$ и всех её вертикальных боковых граней. Это доказывает пункт а.

Плоскость $BDA_1$ проходит через $B=(0;8;0)$, $D=(20;0;0)$, $A_1=(0;0;8)$. Её уравнение в отрезках $x/20+y/8+z/8=1$, или $2x+5y+5z-40=0$.

Расстояние от $A=(0;0;0)$ равно $40/\sqrt{2^2+5^2+5^2}=40/\sqrt{54}=20\sqrt6/9$.

Проверка: все три заданные точки удовлетворяют уравнению плоскости. Расстояние примерно $5{,}44$ меньше $AB=8$, что согласуется с тем, что $B$ лежит в этой плоскости.