Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00045600

Два квадрата в основании удобно описать координатами. Сначала измеряем длины в единицах $OC$: $O=(0;0;0)$, $A=(-1;0;0)$, $B=(0;-1;0)$, $C=(1;0;0)$, $E=(0;1;0)$, $D=(1;1;0)$. Проверим, что это фигуры из условия. У четырёхугольника $ABCE$ диагонали $AC$ и $BE$ равны, перпендикулярны и делятся точкой $O$ пополам — это квадрат. У четырёхугольника $OCDE$ стороны $OC$ и $OE$ равны $1$ и перпендикулярны, а $D=(1;1;0)$ — это тоже квадрат. Отрезок $CE$ для первого квадрата служит стороной, а для второго — диагональю.

Пусть высота призмы $h$. Равносторонность $A_1OC_1$ даёт $OA_1=A_1C_1=2$, поэтому $1+h^2=4$ и $h=\sqrt3$.

Длины $AB_1$ и $AD$ равны: $AB_1^2=1^2+(-1)^2+h^2=5$, $AD^2=2^2+1^2=5$. В треугольнике $ADB_1$ расстояния, о которых спрашивают, — высоты к равным сторонам. Поскольку площадь равна половине произведения стороны на высоту, эти высоты равны. Пункт а доказан.

В пункте б дано $AB=\sqrt2$, значит выбранная единица $OC=1$ совпадает с единицей длины условия. Вектор прямой $ED_1$ равен $v=(1;0;\sqrt3)$, его длина $2$.

В плоскости $BCA_1$ лежат векторы $BC=(1;1;0)$ и $BA_1=(-1;1;\sqrt3)$. Вектор $n=(\sqrt3;-\sqrt3;2)$ перпендикулярен обоим: его скалярные произведения с ними равны нулю. Его длина $\sqrt{3+3+4}=\sqrt{10}$.

Синус угла прямой с плоскостью равен модулю косинуса угла её направления с нормалью: $\sin\varphi=|v\cdot n|/(|v||n|)=3\sqrt3/(2\sqrt{10})=3\sqrt{30}/20$.

Проверка: квадрат результата равен $27/40$, лежит между нулём и единицей. Равенство высот пункта а не зависит от выбранного масштаба.