Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00045597

Выберем координаты по диагоналям ромба: это позволит использовать и угол наклона, и расстояние между прямыми. В треугольнике $ABC$ стороны $AB=BC=2$, угол $B$ равен $120^\circ$. Поэтому $AC^2=4+4-8\cos120^\circ=12$, а $AC=2\sqrt3$.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Из $AB^2=AO^2+BO^2$ находим $BO^2=4-3=1$. Возьмём $O=(0;0;0)$, $A=(-\sqrt3;0;0)$, $C=(\sqrt3;0;0)$, $B=(0;1;0)$, $D=(0;-1;0)$, $S=(0;0;3)$.

Пусть $t=CK/CS$, где $0\lt t\lt1$. Тогда $K=(\sqrt3(1-t);0;3t)$. Проекция $DK$ на основание имеет длину $\sqrt{3(1-t)^2+1}$, а высота точки $K$ равна $3t$.

Тангенс угла наклона — отношение высоты к длине проекции. По условию он равен $\sqrt3$, значит,

$$9t^2=3\bigl(3(1-t)^2+1\bigr)=12-18t+9t^2.$$

Отсюда $18t=12$, $t=2/3$. Значит, $CK=2CS/3$, $SK=CS/3$, и $SK:KC=1:2$, что и требовалось доказать. Координаты $K=(\sqrt3/3;0;2)$.

Для пункта б проведём плоскость $\alpha$ через $DK$ параллельно $BC$. Направления этих прямых: $u=(\sqrt3/3;1;2)$ и $v=(\sqrt3;-1;0)$. Вектор $N=(\sqrt3;3;-2)$ перпендикулярен обоим: $N\cdot u=1+3-4=0$, $N\cdot v=3-3=0$.

Значит, уравнение плоскости через $D$ имеет вид $\sqrt3x+3y-2z+3=0$. Расстояние от $B=(0;1;0)$ до неё равно

$$d=\frac{|0+3-0+3|}{\sqrt{3+9+4}}=\frac64=\frac32.$$

Почему это и есть расстояние между прямыми? $BC$ параллельна $\alpha$, а её ортогональная проекция на $\alpha$ пересекает $DK$: направления $BC$ и $DK$ не параллельны. Через точку их пересечения проходит общий перпендикуляр к исходным прямым. Его длина равна найденному расстоянию до плоскости.

Проверим пункт а: при $t=2/3$ высота $K$ равна 2, длина проекции $\sqrt{1/3+1}=2/\sqrt3$. Их отношение действительно $\sqrt3$.