Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00045601

Введём масштаб $t=OC\gt0$ и высоту призмы $h$. Координаты основания: $O=(0;0;0)$, $A=(-t;0;0)$, $B=(0;-t;0)$, $C=(t;0;0)$, $E=(0;t;0)$, $D=(t;t;0)$. Верхние вершины имеют ту же пару горизонтальных координат и высоту $h$.

У треугольника $AB_1D$ квадраты сторон равны $AB_1^2=2t^2+h^2$, $AD^2=5t^2$, $B_1D^2=5t^2+h^2$. Последняя сторона строго больше каждой из двух других, поэтому равнобедренность возможна только при $AB_1=AD$.

Получаем $2t^2+h^2=5t^2$, то есть $h^2=3t^2$. Теперь $OA_1=OC_1=\sqrt{t^2+h^2}=2t=A_1C_1$. Значит, треугольник $OA_1C_1$ равносторонний, и все три его высоты равны. Это и есть расстояния пункта а.

В пункте б $h=3$, поэтому $t=\sqrt3$. Для вычисления угла общий масштаб можно сократить: используем координаты, разделённые на $t$, тогда высота $\sqrt3$.

Направляющий вектор $DE_1$ равен $v=(-1;0;\sqrt3)$. Плоскость $AEB_1$ содержит векторы $(1;1;0)$ и $(1;-1;\sqrt3)$; нормаль к ней $n=(\sqrt3;-\sqrt3;-2)$.

Имеем $|v|=2$, $|n|=\sqrt{10}$, $|v\cdot n|=3\sqrt3$. Поэтому $\sin^2\varphi=27/40$. Угол прямой с плоскостью берут не больше прямого, значит косинус неотрицателен: $\cos\varphi=\sqrt{1-27/40}=\sqrt{13/40}=\sqrt{130}/20$.

Проверка: скалярные произведения нормали с обоими векторами плоскости нулевые. Значение $AA_1=3$ задаёт масштаб, но не меняет искомый угол.