Global EE

Задание 24 ОГЭ по математике: геометрические задачи на доказательство — разбор и ошибки

В банке 122 задач этого номера с видеоразборами. Ответ — развёрнутое решение.

ПопробоватьРешать задачи номера →

Где ошибаются

Ожидаемый процент выполнения — 15–30. Где теряют на примере демо:

  1. «Видно по рисунку». Рисунок не доказательство: каждый вывод нужно обосновать.
  2. Не используют свойство вписанного четырёхугольника. Сумма противоположных углов 180° — ключ к равенству ∠ADM и ∠CBM.
  3. Не называют признак подобия. Здесь: общий угол M и равные углы ADM и CBM — подобие по двум углам.
  4. Путают порядок вершин. MBC ~ MDA: M↔M, B↔D, C↔A.

Одно верное доказательство здесь закрывает условие по геометрии целиком: в 2026 году без 2 баллов за задания 15–19 и 23–25 нельзя было получить ни «3», ни выше (письмо Рособрнадзора № 04-44 от 18.02.2026). Правило на 2027 год ещё не объявлено.

Шпаргалка за 30 секунд

  1. Выпиши, что дано, и что нужно доказать.
  2. Найди равные углы или пропорциональные стороны.
  3. Назови теорему или свойство для каждого шага.
  4. Сделай вывод: «по двум углам».

Подобие

Приём
по двум углам
Ловушка
не обосновать равенство углов

Вписанный четырёхугольник

Приём
сумма противоположных углов 180°
Ловушка
забыть о свойстве

Следующий шаг — тренажёр «Окружность: вписанные углы, хорды, касательные». Потом — 25 задание ОГЭ математика или пробное занятие по математике.

Разбираем вместе

Видеоразбор 1

ID: 00038871

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую

из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=6$.

Источник: ФИПИ

Видеоразбор 2

ID: 00038865

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую

из вершины $B$, в отношении $25:24$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=14$.

Источник: ФИПИ

Видеоразбор 3

ID: 00038846

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$

в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK=12,CK=16$.

Источник: ФИПИ

Подтемы этого номера

Примеры заданий с ответами15

Пример 1

ID: 00045907

Окружности с центрами в точках $O$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Диаметры этих окружностей относятся как $m:n$. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m:n$.

Ответ

Доказано: внутренняя общая касательная пересекает $OQ$ в точке $P$, для которой $OP:PQ=m:n$ — прямоугольные треугольники $OT_1P$ и $QT_2P$ (радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, острые углы при $P$ равны как вертикальные) подобны, поэтому $\dfrac{OP}{PQ}=\dfrac{OT_1}{QT_2}=\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{m}{n}$

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 2

ID: 00045906

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BKC$ и $AKD$ равна сумме площадей треугольников $ABK$ и $CKD$.

Ответ

Доказано: $S_{BKC}+S_{AKD}=S_{ABK}+S_{CKD}$ — точка $K$ средней линии удалена от каждого основания на половину высоты $\dfrac{h}{2}$, поэтому $S_{BKC}+S_{AKD}=\dfrac{BC+AD}{4}\cdot h=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$, а на треугольники $ABK$ и $CKD$ приходится вторая половина площади трапеции

Решение

Источник: Сборник Ященко 2027

Пример 3

ID: 00044086

Окружности с центрами в точках $R$ и $S$ не имеют общих точек, ни одна из них не лежит внутри другой, а их радиусы относятся как $c:d$. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $c:d$.

Ответ
Доказано: $RT:TS=c:d$ — радиусы $RP$ и $SQ$, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной, поэтому $RP\parallel SQ$; треугольники $RPT$ и $SQT$ подобны по двум углам, и $\dfrac{RT}{ST}=\dfrac{RP}{SQ}=\dfrac cd$
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 4

ID: 00044085

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K$. Докажите, что сумма площадей треугольников $ABK$ и $CDK$ равна половине площади трапеции.

Ответ
Доказано: $S_{ABK}+S_{CDK}=\dfrac12 S_{ABCD}$ — средняя линия $MN$ делит каждый из треугольников $ABK$ и $CDK$ на два треугольника с высотами $\dfrac h2$, поэтому $S_{ABK}=\dfrac{MK\cdot h}{2}$, $S_{CDK}=\dfrac{KN\cdot h}{2}$, а сумма равна $\dfrac{MN\cdot h}{2}=\dfrac12 S_{ABCD}$
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 5

ID: 00044084

Точка $N$ — середина стороны $BC$ ромба $ABCD$, а $AN=DN$. Докажите, что ромб $ABCD$ является квадратом.

Ответ
Доказано: $ABCD$ — квадрат — треугольники $ABN$ и $DCN$ равны по трём сторонам ($AB=DC$, $BN=NC$, $AN=DN$), поэтому $\angle B=\angle C$, а так как $\angle B+\angle C=180^{\circ}$, угол $B$ прямой; ромб с прямым углом — квадрат
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 6

ID: 00044083

Точка $M$ — середина стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$, а $MC=MD$. Докажите, что параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Ответ
Доказано: $ABCD$ — прямоугольник — треугольники $AMD$ и $BMC$ равны по трём сторонам ($AM=MB$, $MD=MC$, $AD=BC$), поэтому $\angle A=\angle B$, а так как $\angle A+\angle B=180^{\circ}$, каждый из них равен $90^{\circ}$
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 7

ID: 00044082

Точка $F$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$, а $AB=BC+AD$. Докажите, что $AF$ — биссектриса угла $BAD$.

Ответ
Доказано: $AF$ — биссектриса угла $BAD$ — прямая $AF$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$, $\triangle ADF=\triangle PCF$, поэтому $CP=AD$ и $BP=BC+AD=AB$; треугольник $ABP$ равнобедренный, и $\angle BAF=\angle BPA=\angle FAD$
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 8

ID: 00044081

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CAD$ и $CBD$ равны. Докажите, что углы $ACD$ и $ABD$ также равны.

Ответ
Доказано: $\angle ACD=\angle ABD$ — точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $CD$ и видят $CD$ под равными углами, поэтому $ABCD$ вписан в окружность, а углы $ACD$ и $ABD$ — вписанные, опирающиеся на одну дугу $AD$
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 9

ID: 00044080

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BDC$ и $BAC$ равны. Докажите, что углы $CBD$ и $CAD$ также равны.

Ответ
Доказано: $\angle CBD=\angle CAD$ — из $\angle BAC=\angle BDC$ треугольники $AOB$ и $DOC$ подобны ($O$ — точка пересечения диагоналей), откуда $\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{DO}{CO}$ и треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны по двум сторонам и углу между ними
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 10

ID: 00044079

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $KLMN$ проведена прямая, пересекающая стороны $LM$ и $KN$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что отрезки $AM$ и $BK$ равны.

Ответ
Доказано: $AM=BK$ — треугольники $AOM$ и $BOK$ равны по стороне и двум прилежащим углам ($MO=OK$, вертикальные углы при $O$, накрест лежащие углы при $LM\parallel KN$)
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 11

ID: 00044078

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $KLMN$ проведена прямая, пересекающая стороны $KL$ и $MN$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Докажите, что отрезки $AL$ и $BN$ равны.

Ответ
Доказано: $AL=BN$ — треугольники $AOL$ и $BON$ равны по стороне и двум прилежащим углам ($LO=ON$, вертикальные углы при $O$, накрест лежащие углы при $KL\parallel MN$)
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 12

ID: 00044077

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH$ и $CF$. Докажите, что углы $CFH$ и $CAH$ равны.

Ответ
Доказано: $\angle CFH=\angle CAH$ — точки $F$ и $H$ лежат на окружности с диаметром $AC$ (из них $AC$ виден под прямым углом), а углы $CFH$ и $CAH$ вписаны в неё и опираются на одну дугу $CH$
Решение

Источник: Сборник Ященко 2026

Пример 13

ID: 00038872

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую

из вершины $B$, в отношении  $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=8$.

Источник: ФИПИ

Пример 14

ID: 00038870

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую

из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=16$.

Источник: ФИПИ

Пример 15

ID: 00038869

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую

из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=18$.

Источник: ФИПИ

Все 122 задач в банке →

Соседние материалы

Темы для этого задания

Частые вопросы

Как решать 24 задание ОГЭ по математике?

Найди равные углы или пропорции и назови теорему для каждого шага. В демо-2027 подобие доказывают по двум углам.

Какие бывают все типы 24 задания ОГЭ?

Доказательство подобия, равенства, свойств фигур; в банке по №24 собрано 122 задачи.

Сколько баллов за 24 задание ОГЭ?

2 балла: 2 — доказательство верное, 1 — с несущественными недостатками, 0 — иначе.

Разберёмся вместе?

Начни с пробного занятия — найди слабую тему и разбери её с преподавателем.

Попробовать