Четырёхугольники и многоугольники в ОГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Четырёхугольники в ОГЭ по математике — это параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат и трапеция, а во второй части ещё и четырёхугольник, вписанный в окружность. В проекте демоверсии 2027 они встречаются в шести заданиях: 16, 17, 19, 23, 24 и 25.

Суть простыми словами

У каждой фигуры своя «визитная карточка». Параллелограмм: противоположные стороны равны и параллельны, диагонали делятся пополам, площадь S = a·h. Ромб: все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делятся пополам, S = ½·d₁·d₂. Прямоугольник: диагонали равны, S = a·b. Трапеция: S = (a + b)/2 · h, а средняя линия равна полусумме оснований.

Примеры. Трапеция с основаниями 6 и 10 и высотой 4: S = (6 + 10)/2 · 4 = 32. Ромб с диагоналями 6 и 8: S = 24, а сторона по Пифагору √(3² + 4²) = 5.

Если четырёхугольник вписан в окружность, суммы его противоположных углов равны 180°. Если описан около окружности, равны суммы противоположных сторон. Для любого выпуклого четырёхугольника площадь равна ½·d₁·d₂·sin φ, где φ — угол между диагоналями; у ромба φ = 90°, и формула сводится к ½·d₁·d₂.

Диагональ режет четырёхугольник на треугольники, и это главный приём. В задании 17 демо основания трапеции 2 и 9, а диагональ делит среднюю линию на два отрезка. Каждый из них — средняя линия своего треугольника: 2 : 2 = 1 и 9 : 2 = 4,5. Ответ 4,5.

Где встречается на экзамене

Где ошибаются

1. Берут боковую сторону вместо высоты. Высота перпендикулярна основаниям, а боковая сторона почти всегда длиннее её.
2. Отвечают всей средней линией. В задании 17 демо вся средняя линия равна (2 + 9) : 2 = 5,5, но спрашивают больший из двух отрезков, на которые её делит диагональ, — это 4,5.
3. Приписывают ромбу свойства прямоугольника. У ромба диагонали перпендикулярны, а равны они только у квадрата. Поэтому утверждение «диагонали ромба равны» в задании 19 демо ложно.
4. Путают вписанный и описанный. Четырёхугольник вписан в окружность — суммы противоположных углов по 180°. Описан около окружности — равны суммы противоположных сторон. В задании 16 демо квадрат описан около окружности, поэтому его сторона равна диаметру 14, а не радиусу 7.
5. Не называют свойство в доказательстве. В задании 24 демо подобие MBC и MDA держится на свойстве вписанного четырёхугольника: без ссылки на него шаг не засчитают.

Шпаргалка за 30 секунд

Свойства для задач: вписанный четырёхугольник — сумма противоположных углов 180°; описанный — равны суммы противоположных сторон. Основные формулы площади есть в справочных материалах, сверяйся с листом.

Покачай параллелограмм на тренажёре «Параллелограмм, ромб, трапеция» и поймай момент, когда он становится ромбом. Площади разрежь и сложи на тренажёре «Площади фигур», потом реши 17 задание ОГЭ математика. Задание 25 с трапецией и биссектрисой требует дополнительного построения, его удобнее впервые разобрать на пробном занятии.