Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044082

💡 Идея. Сумма $BC+AD$ — это два основания, «положенные в одну линию». Продлим $AF$ до прямой $BC$: середина $F$ перенесёт отрезок $AD$ на продолжение основания $BC$, и появится равнобедренный треугольник.

Продолжим отрезок $AF$ за точку $F$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$. Прямые $AF$ и $BC$ действительно пересекаются: $AF$ не параллельна основаниям, ведь проходит через вершину $A$ одного основания и середину боковой стороны.

Рассмотрим треугольники $ADF$ и $PCF$:

• $DF=CF$, потому что $F$ — середина $CD$;

• $\angle AFD=\angle PFC$ как вертикальные;

• $\angle ADF=\angle PCF$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CD$.

По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны. Значит, $CP=AD$ и $AF=FP$.

Точка $P$ лежит на продолжении основания $BC$ за точку $C$. Действительно, $F$ — середина $AP$, поэтому $A$ и $P$ лежат по разные стороны от прямой $CD$; а вершина $B$ лежит по ту же сторону от $CD$, что и $A$. Значит, $C$ оказывается между $B$ и $P$, и

$$BP=BC+CP=BC+AD=AB.$$

Последнее равенство — это условие задачи. Получили $BP=AB$: треугольник $ABP$ равнобедренный с основанием $AP$.

Правило: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому $\angle BAP=\angle BPA$.

Угол $BPA$ и угол $PAD$ — накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AP$, поэтому $\angle BPA=\angle PAD$.

Соединяем: $\angle BAF=\angle BAP=\angle BPA=\angle PAD=\angle FAD$. Луч $AF$ делит угол $BAD$ на две равные части — это и есть биссектриса, что и требовалось доказать.

Проверим, что условие использовано по делу. Если бы $AB$ было больше суммы $BC+AD$, то $BP=BC+AD$ оказалось бы короче $AB$, треугольник $ABP$ не был бы равнобедренным, и угол $BAF$ стал бы меньше угла $FAD$. Равенство $AB=BC+AD$ ровно и делает углы одинаковыми.