Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044080

💡 Идея. Обозначим точку пересечения диагоналей. Данные равные углы попадут в одну пару треугольников, искомые — в другую. Подобие первой пары даст пропорцию, а из неё вытечет подобие второй пары.

Четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, поэтому его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются внутри него. Обозначим точку пересечения $O$.

Первая пара. Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $\angle BAO=\angle BAC$. Точка $O$ лежит на отрезке $BD$, поэтому $\angle CDO=\angle CDB$. По условию эти углы равны: $\angle BAO=\angle CDO$.

Кроме того, $\angle AOB=\angle DOC$ как вертикальные. Значит, треугольники $AOB$ и $DOC$ подобны по двум углам, причём $A\to D$, $O\to O$, $B\to C$.

Выпишем отношение соответственных сторон:

$$\dfrac{AO}{DO}=\dfrac{BO}{CO}.$$

Переставим средние члены пропорции (это законно: обе части можно умножить на $\dfrac{DO}{BO}$):

$$\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{DO}{CO}.$$

Вторая пара. Теперь посмотрим на треугольники $AOD$ и $BOC$. Углы $AOD$ и $BOC$ вертикальные, значит, равны. А стороны, которые эти углы заключают, пропорциональны — это ровно последняя пропорция: $AO$ и $OD$ в первом треугольнике, $BO$ и $OC$ во втором.

Правило: если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, заключающие эти углы, пропорциональны, то треугольники подобны (второй признак подобия). Поэтому треугольники $AOD$ и $BOC$ подобны, причём $A\to B$, $O\to O$, $D\to C$.

В подобных треугольниках соответственные углы равны: $\angle OAD=\angle OBC$. Но $\angle OAD$ — это угол $CAD$, а $\angle OBC$ — это угол $CBD$ (точка $O$ лежит на $AC$ и на $BD$). Значит, $\angle CBD=\angle CAD$, что и требовалось доказать.

Проверим себя вторым способом. Точки $A$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ и видят отрезок $BC$ под равными углами — значит, все четыре вершины лежат на одной окружности. Углы $CBD$ и $CAD$ — вписанные и опираются на одну дугу $CD$, поэтому они равны. Результат тот же.