Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044081

💡 Идея. Данные равные углы — это два взгляда на один и тот же отрезок $CD$. Если отрезок виден из двух точек по одну сторону от него под равными углами, все четыре точки лежат на одной окружности. А на окружности равенство искомых углов — это теорема о вписанных углах.

Углы $CAD$ и $CBD$ — это углы, под которыми отрезок $CD$ виден из точек $A$ и $B$.

Четырёхугольник выпуклый, поэтому вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $CD$: у выпуклого многоугольника все вершины лежат по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.

Проведём окружность через три точки $A$, $C$, $D$. Почему на ней окажется и $B$? Правило (обратное к теореме о вписанном угле): если отрезок виден из двух точек, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности.

Проверим это правило «на пальцах». Если бы точка $B$ лежала внутри круга, угол $CBD$ был бы больше вписанного угла $CAD$; если бы снаружи — меньше. Равенство $\angle CBD=\angle CAD$ возможно, только когда $B$ лежит на самой окружности.

Итак, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности.

Теперь искомые углы. Угол $ACD$ имеет вершину $C$ на окружности, угол $ABD$ — вершину $B$ на окружности, и оба опираются на хорду $AD$. Вершины $B$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $AD$ (это тоже следует из выпуклости), то есть оба угла опираются на одну и ту же дугу $AD$.

Правило: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Поэтому

$$\angle ACD=\angle ABD,$$

что и требовалось доказать.

Проверим себя другим путём, без окружности. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. В треугольниках $AOD$ и $BOC$ углы при $A$ и $B$ равны по условию, а углы при $O$ вертикальные, поэтому они подобны и $\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{DO}{CO}$, то есть $\dfrac{AO}{DO}=\dfrac{BO}{CO}$. Тогда треугольники $AOB$ и $DOC$ подобны по двум сторонам и вертикальному углу между ними, и $\angle ABO=\angle DCO$ — это и есть $\angle ABD=\angle ACD$.