Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044077

💡 Идея. Обе высоты дают прямые углы, и оба прямых угла «смотрят» на один и тот же отрезок $AC$. Значит, точки $F$ и $H$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$ — а дальше работают вписанные углы.

$CF$ — высота, поэтому $CF\perp AB$ и $\angle AFC=90^{\circ}$. $AH$ — высота, поэтому $AH\perp BC$ и $\angle AHC=90^{\circ}$.

Пусть $O$ — середина $AC$. В прямоугольном треугольнике $AFC$ медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $OF=\dfrac{AC}{2}$. Так же в прямоугольном треугольнике $AHC$ получаем $OH=\dfrac{AC}{2}$.

Выходит, что точки $A$, $C$, $F$ и $H$ находятся на одном расстоянии $\dfrac{AC}{2}$ от точки $O$:

$$OA=OC=OF=OH=\dfrac{AC}{2}.$$

Значит, все четыре точки лежат на одной окружности с центром $O$ и диаметром $AC$.

Теперь посмотрим на углы $CFH$ и $CAH$. Вершины $F$ и $A$ лежат на этой окружности, а стороны углов проходят через точки $C$ и $H$. То есть оба угла — вписанные и опираются на одну и ту же хорду $CH$.

Важно, что вершины $F$ и $A$ лежат по одну сторону от прямой $CH$, то есть от прямой $BC$: треугольник остроугольный, поэтому основание высоты $F$ лежит на самой стороне $AB$, между $A$ и $B$, а весь отрезок $AB$, кроме точки $B$, находится по одну сторону от $BC$. Значит, оба угла опираются на одну и ту же дугу $CH$.

Правило: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Поэтому $\angle CFH=\angle CAH$, что и требовалось доказать.

Проверим себя другим способом, через углы. В прямоугольном треугольнике $AHC$ острые углы в сумме дают $90^{\circ}$, поэтому $\angle CAH=90^{\circ}-\angle C$.

Теперь угол $CFH$. Из прямоугольных треугольников $BFC$ и $BHA$: $BF=BC\cdot\cos B$ и $BH=BA\cdot\cos B$. Значит, $\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BH}{BA}$, и угол $B$ у треугольников $BFH$ и $BCA$ общий — они подобны по двум сторонам и углу между ними, причём вершине $F$ отвечает вершина $C$. Отсюда $\angle BFH=\angle C$ и

$$\angle CFH=\angle BFC-\angle BFH=90^{\circ}-\angle C.$$

Получили то же самое $90^{\circ}-\angle C$ — оба способа сходятся.