Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044086

💡 Идея. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной — значит, параллельны друг другу. Тогда вместе с касательной и отрезком центров они образуют два подобных прямоугольных треугольника, и коэффициент подобия — как раз отношение радиусов.

Пусть внутренняя общая касательная касается окружности с центром $R$ в точке $P$, окружности с центром $S$ — в точке $Q$ и пересекает отрезок $RS$ в точке $T$.

Почему она вообще пересекает отрезок $RS$? Касательная внутренняя — окружности лежат по разные стороны от неё. Значит, и центры $R$ и $S$ лежат по разные стороны от касательной, и отрезок $RS$ её пересекает.

Правило: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $RP\perp PQ$ и $SQ\perp PQ$.

Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны: $RP\parallel SQ$.

Рассмотрим треугольники $RPT$ и $SQT$:

• $\angle RPT=\angle SQT=90^{\circ}$;

• $\angle PRT=\angle QST$ как накрест лежащие при параллельных $RP$ и $SQ$ и секущей $RS$.

По двум углам треугольники подобны, причём $R\to S$, $P\to Q$, $T\to T$. Отношение соответственных сторон:

$$\dfrac{RT}{ST}=\dfrac{RP}{SQ}.$$

$RP$ и $SQ$ — радиусы окружностей, и по условию они относятся как $c:d$. Поэтому $RT:TS=c:d$ — касательная делит отрезок центров в отношении радиусов, что и требовалось доказать.

Проверим себя на частном случае: если окружности одинаковые ($c=d$), касательная должна проходить через середину $RS$ — и это видно по симметрии картинки. Формула даёт $RT:TS=1:1$, всё сходится. Заодно из того же подобия $\dfrac{TP}{TQ}=\dfrac cd$: точка $T$ делит в том же отношении и отрезок касательной между точками касания.