Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00045906

💡 Идея. Любая точка средней линии одинаково удалена от обоих оснований — ровно на половину высоты трапеции. Поэтому треугольники с основаниями $BC$ и $AD$ вместе занимают ровно половину трапеции, а на два других треугольника остаётся вторая половина.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции ($M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$), $K$ — точка на ней, $h$ — высота трапеции, $S$ — её площадь. Средняя линия параллельна основаниям.

Проведём через $K$ прямую, перпендикулярную основаниям; пусть она пересекает прямую $BC$ в точке $P$, а прямую $AD$ — в точке $Q$. Тогда $PQ=h$, отрезок $KP$ — высота треугольника $BKC$, а $KQ$ — высота треугольника $AKD$.

Докажем, что $KP=KQ$. Правило (теорема Фалеса): если параллельные прямые отсекают на одной секущей равные отрезки, то и на любой другой секущей они отсекают равные отрезки. Прямые $BC$, $MN$ и $AD$ параллельны и на секущей $AB$ отсекают равные отрезки $BM=MA$. Значит, и на секущей $PQ$ отрезки равны: $PK=KQ=\dfrac{h}{2}$.

Запишем площади этих двух треугольников — половина основания, умноженного на высоту:

$$S_{BKC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot\dfrac{h}{2},\qquad S_{AKD}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot\dfrac{h}{2}.$$

Сложим их и вынесем общий множитель:

$$S_{BKC}+S_{AKD}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{1}{2}S,$$

потому что площадь трапеции равна $S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h$.

Точка $K$ лежит внутри трапеции (или на её боковой стороне, если $K$ — конец средней линии). Отрезки $KA$, $KB$, $KC$, $KD$ разрезают трапецию на четыре треугольника $ABK$, $BKC$, $CKD$, $DKA$ без наложений, поэтому

$$S_{ABK}+S_{BKC}+S_{CKD}+S_{AKD}=S.$$

Отсюда $S_{ABK}+S_{CKD}=S-\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}S$.

Обе суммы равны половине площади трапеции, значит, они равны между собой: $S_{BKC}+S_{AKD}=S_{ABK}+S_{CKD}$, что и требовалось доказать.

Проверка себя на крайнем положении: если $K$ — середина $M$ боковой стороны $AB$, треугольник $ABK$ вырождается в отрезок с нулевой площадью. Тогда утверждение говорит, что $S_{CKD}$ — половина трапеции. Так и есть: треугольники $BKC$, $AKD$ и $CKD$ вместе составляют всю трапецию, а первые два по доказанному дают половину.