Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044085

💡 Идея. Средняя линия проходит ровно посередине между основаниями. Она разрезает каждый из треугольников $ABK$ и $CDK$ на два кусочка с одинаковой высотой $\dfrac h2$ — и площади считаются через отрезки самой средней линии.

Пусть $MN$ — средняя линия: $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$, точка $K$ лежит на отрезке $MN$. Обозначим высоту трапеции $h$.

Правило: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме, $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$. Так как она проходит через середины боковых сторон, расстояние от прямой $MN$ до каждого основания равно $\dfrac h2$.

Поэтому площадь трапеции можно записать как

$$S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=MN\cdot h.$$

Треугольник $ABK$. Отрезок $MK$ делит его на треугольники $AMK$ и $BMK$ с общим основанием $MK$. Вершина $A$ лежит на прямой $AD$, вершина $B$ — на прямой $BC$, и обе удалены от прямой $MN$ на $\dfrac h2$. Значит,

$$S_{ABK}=S_{AMK}+S_{BMK}=\dfrac12\cdot MK\cdot\dfrac h2+\dfrac12\cdot MK\cdot\dfrac h2=\dfrac{MK\cdot h}{2}.$$

Треугольник $CDK$. Точно так же отрезок $KN$ делит его на треугольники $CKN$ и $DKN$ с высотами $\dfrac h2$:

$$S_{CDK}=\dfrac12\cdot KN\cdot\dfrac h2+\dfrac12\cdot KN\cdot\dfrac h2=\dfrac{KN\cdot h}{2}.$$

Складываем и учитываем, что $MK+KN=MN$:

$$S_{ABK}+S_{CDK}=\dfrac{(MK+KN)\cdot h}{2}=\dfrac{MN\cdot h}{2}=\dfrac12 S_{ABCD},$$

что и требовалось доказать. Положение $K$ на средней линии нигде не использовалось — точка действительно может быть любой.

Проверим себя на крайнем случае. Если $K$ совпадает с $M$, треугольник $ABK$ вырождается (площадь $0$), и формула говорит, что $S_{CDM}=\dfrac12 S_{ABCD}$. Это известный факт: треугольник с вершиной в середине боковой стороны и основанием — другой боковой стороной — занимает ровно половину трапеции.