Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044079

💡 Идея. Концы отрезков $AM$ и $BK$ — противоположные вершины $M$ и $K$, а их соединяет диагональ $KM$, которую точка $O$ делит пополам. На этой половинке и строим два равных треугольника.

Рассмотрим треугольники $AOM$ и $BOK$: в первом лежит отрезок $AM$, во втором — $BK$.

Правило: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Для диагонали $KM$ это значит $MO=OK$.

Углы $AOM$ и $BOK$ вертикальные (их образуют пересекающиеся прямые $AB$ и $KM$), поэтому $\angle AOM=\angle BOK$.

Стороны $LM$ и $KN$ параллелограмма параллельны. Прямая $KM$ — секущая для них, и углы $AMO$ и $BKO$ накрест лежащие. Значит, $\angle AMO=\angle BKO$.

Получаем в двух треугольниках:

$$MO=KO,\qquad \angle AOM=\angle BOK,\qquad \angle AMO=\angle BKO.$$

Оба угла прилегают к равным сторонам $MO$ и $KO$, поэтому треугольники $AOM$ и $BOK$ равны по второму признаку — по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Стороны $AM$ и $BK$ лежат против равных вертикальных углов при $O$, значит, они соответственные и равны: $AM=BK$, что и требовалось доказать.

Проверим себя: заодно из равенства треугольников получается $OA=OB$ — точка $O$ оказывается серединой отрезка $AB$. Это согласуется с тем, что параллелограмм симметричен относительно точки пересечения диагоналей. А если провести прямую через $O$ параллельно $KL$, то $A$ и $B$ станут серединами сторон $LM$ и $KN$, и $AM=\dfrac{LM}{2}=\dfrac{KN}{2}=BK$.