Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00045907

💡 Идея. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной. Вместе с касательной и линией центров они дают два прямоугольных треугольника с вертикальными углами — эти треугольники подобны, а коэффициент подобия равен отношению радиусов.

Обозначим радиусы окружностей с центрами $O$ и $Q$ через $r_1$ и $r_2$. Диаметры равны $2r_1$ и $2r_2$, поэтому

$$\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{2r_1}{2r_2}=\dfrac{m}{n}.$$

Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках $T_1$ и $T_2$. Внутренняя касательная проходит между окружностями: окружности, а с ними и центры $O$ и $Q$, лежат по разные стороны от неё. Поэтому отрезок $OQ$ пересекает касательную в некоторой точке $P$, лежащей между $O$ и $Q$.

Правило: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OT_1\perp T_1T_2$ и $QT_2\perp T_1T_2$, и треугольники $OT_1P$ и $QT_2P$ прямоугольные — с прямыми углами при $T_1$ и $T_2$.

Эти треугольники не вырождаются. Если бы $P$ совпала с $T_1$, прямая $OQ$ была бы перпендикулярна касательной в точке $P$; тогда перпендикуляр из $Q$ на касательную тоже пришёл бы в $P$, то есть $T_2=P$, и окружности имели бы общую точку $P$ — а по условию общих точек нет.

Углы $OPT_1$ и $QPT_2$ — острые углы прямоугольных треугольников, и оба они образованы одними и теми же пересекающимися прямыми $OQ$ и $T_1T_2$. При пересечении двух прямых острые углы вертикальные и равны, поэтому $\angle OPT_1=\angle QPT_2$.

Правило: прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны. Значит, $\triangle OT_1P\sim\triangle QT_2P$. Соответственные стороны: гипотенузы $OP$ и $QP$, катеты $OT_1$ и $QT_2$, лежащие против равных углов при $P$. Поэтому

$$\dfrac{OP}{QP}=\dfrac{OT_1}{QT_2}=\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{m}{n}.$$

Значит, точка $P$ делит отрезок $OQ$ в отношении $OP:PQ=m:n$, что и требовалось доказать.

Проверка себя: при равных окружностях ($m=n$) картинка симметрична относительно середины $OQ$, и касательная должна проходить через эту середину. Доказанное равенство даёт $OP:PQ=1:1$ — всё согласуется.