Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044078

💡 Идея. Отрезки $AL$ и $BN$ надо поместить в два треугольника, которые окажутся равными. Удобно взять треугольники с общей вершиной $O$, построенные на диагонали $LN$.

Соединим вершины $L$ и $N$ — это диагональ параллелограмма, и она проходит через точку $O$. Получились треугольники $AOL$ и $BON$: в первом лежит отрезок $AL$, во втором — $BN$.

Правило: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому $LO=ON$.

Углы $AOL$ и $BON$ образованы двумя пересекающимися прямыми $AB$ и $LN$ и лежат друг напротив друга. Это вертикальные углы, они равны: $\angle AOL=\angle BON$.

Противоположные стороны параллелограмма параллельны: $KL\parallel MN$. Прямая $LN$ пересекает их, и углы $ALO$ и $BNO$ — накрест лежащие при этих параллельных и секущей $LN$. Значит, $\angle ALO=\angle BNO$.

Итак, в треугольниках $AOL$ и $BON$:

$$LO=NO,\qquad \angle AOL=\angle BON,\qquad \angle ALO=\angle BNO.$$

Оба равных угла прилегают к равным сторонам $LO$ и $NO$. По второму признаку (сторона и два прилежащих к ней угла) треугольники равны.

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $AL$ лежит против угла $AOL$, сторона $BN$ — против равного ему угла $BON$. Поэтому $AL=BN$, что и требовалось доказать.

Проверим себя на частном случае. Пусть прямая через $O$ параллельна стороне $LM$. Тогда $A$ и $B$ — середины сторон $KL$ и $MN$, и $AL=\dfrac{KL}{2}=\dfrac{MN}{2}=BN$ — равенство выполняется, как и должно.