Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044083

💡 Идея. Из середины $M$ стороны $AB$ выходят два равных отрезка к вершинам $C$ и $D$. Вместе с половинками $AB$ и противоположными сторонами параллелограмма они образуют два равных треугольника — а из их равенства вытекут равные соседние углы параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMC$:

• $AM=MB$, потому что $M$ — середина $AB$;

• $MD=MC$ по условию;

• $AD=BC$ как противоположные стороны параллелограмма.

По трём сторонам треугольники равны. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: угол $MAD$ лежит против стороны $MD$, угол $MBC$ — против равной ей стороны $MC$. Поэтому $\angle MAD=\angle MBC$, то есть $\angle DAB=\angle ABC$.

Углы $A$ и $B$ параллелограмма — соседние: это односторонние углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Их сумма равна $180^{\circ}$:

$$\angle A+\angle B=180^{\circ},\qquad 2\angle A=180^{\circ},\qquad \angle A=90^{\circ}.$$

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, — прямоугольник: противоположный угол $C$ равен углу $A$, а соседние углы $B$ и $D$ дополняют его до $180^{\circ}$, так что все четыре угла прямые. Значит, $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Проверим себя другим путём. Точка $M$ равноудалена от $C$ и $D$, значит, лежит на серединном перпендикуляре к $CD$. Прямая через $M$ и середину $CD$ параллельна $AD$ (это отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма). Она перпендикулярна $CD$, значит, и $AD\perp CD$ — угол $D$ прямой. Вывод тот же.