Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038870

Дано: в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$; $BC=16$. Найти радиус описанной окружности.

Шаг 1. Обозначения на чертеже. Пусть $BH$ — высота из вершины $B$, тогда $H$ лежит на прямой $AC$ и $\angle AHB=90^{\circ}$. Биссектриса угла $A$ пересекает $BH$ в точке $P$, причём $BP:PH=5:3$.

Шаг 2. Свойство биссектрисы в треугольнике $ABH$. Точка $H$ лежит на луче $AC$, поэтому биссектриса угла $BAC$ является биссектрисой и угла $BAH$ треугольника $ABH$ и пересекает противоположную сторону $BH$ в точке $P$. По свойству биссектрисы треугольника $\dfrac{BP}{PH}=\dfrac{AB}{AH}$, значит $\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{5}{3}$.

Шаг 3. Находим синус угла $A$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ прилежит к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому $\cos A=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{3}{5}$. Тогда $\sin^{2}A=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ и $\sin A=\dfrac{4}{5}$.

Шаг 4. Теорема синусов. Сторона $BC$ лежит против угла $A$, поэтому $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{16}{2\cdot\dfrac{4}{5}}=\dfrac{16\cdot 5}{2\cdot 4}=\dfrac{80}{8}=10$.