ID: 00038865
Источник: ФИПИ
Дано: в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $25:24$, считая от точки $B$; $BC=14$. Найти радиус описанной окружности.
Шаг 1. Обозначения на чертеже. Пусть $BH$ — высота из вершины $B$; тогда $H$ лежит на прямой $AC$ и $\angle AHB=90^{\circ}$. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает высоту $BH$ в точке $P$; по условию $BP:PH=25:24$.
Шаг 2. Свойство биссектрисы применяем к треугольнику $ABH$. Точка $H$ лежит на луче $AC$, поэтому биссектриса угла $BAC$ является одновременно биссектрисой угла $BAH$ в треугольнике $ABH$. В этом треугольнике она проведена из вершины $A$ и пересекает противоположную сторону $BH$ в точке $P$. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, поэтому $\dfrac{BP}{PH}=\dfrac{AB}{AH}$, то есть $\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{25}{24}$.
Шаг 3. Находим синус угла $A$. Треугольник $ABH$ прямоугольный с прямым углом при вершине $H$. В нём $AH$ — катет, прилежащий к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому $\cos A=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{24}{25}$. По основному тригонометрическому тождеству $\sin^{2}A=1-\cos^{2}A=1-\dfrac{576}{625}=\dfrac{49}{625}$, а так как $A$ — угол треугольника, его синус положителен: $\sin A=\dfrac{7}{25}$.
Шаг 4. Теорема синусов. Для любого треугольника отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности: $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$. Сторона $BC$ лежит против угла $A$, поэтому $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{14}{2\cdot\dfrac{7}{25}}=\dfrac{14\cdot 25}{2\cdot 7}=\dfrac{350}{14}=25$.