Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00044084

💡 Идея. Точка $N$ одинаково удалена от $A$ и $D$. Сравним два треугольника, которые отрезки $NA$ и $ND$ отсекают у вершин $B$ и $C$: они окажутся равными, и соседние углы ромба совпадут. А два равных соседних угла в сумме $180^{\circ}$ — это два прямых.

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCN$:

• $AB=DC$, потому что у ромба все стороны равны;

• $BN=NC$, потому что $N$ — середина $BC$;

• $AN=DN$ по условию.

По трём сторонам треугольники равны. Угол $ABN$ лежит против стороны $AN$, угол $DCN$ — против равной ей стороны $DN$, поэтому $\angle ABN=\angle DCN$, то есть $\angle B=\angle C$.

Ромб — это параллелограмм, и его углы $B$ и $C$ — соседние: односторонние при параллельных $AB$ и $CD$ и секущей $BC$. Значит,

$$\angle B+\angle C=180^{\circ},\qquad 2\angle B=180^{\circ},\qquad \angle B=90^{\circ}.$$

Тогда и все углы ромба прямые: противоположный угол $D$ равен $B$, а соседние $A$ и $C$ дополняют $90^{\circ}$ до $180^{\circ}$. Ромб, у которого все углы прямые, — квадрат, что и требовалось доказать.

Проверим себя вторым способом. Треугольник $AND$ равнобедренный ($NA=ND$). Проведём через $N$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения с $AD$ в точке $K$. Тогда $ABNK$ — параллелограмм, $AK=BN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{AD}{2}$, то есть $K$ — середина $AD$. Значит, $NK$ — медиана равнобедренного треугольника к основанию, а она же высота: $NK\perp AD$. Раз $NK\parallel AB$, то и $AB\perp AD$ — угол $A$ прямой.

И обратная проверка на «неправильном» ромбе: при стороне $2$ и $\angle B=60^{\circ}$ по теореме косинусов $AN^{2}=4+1-2\cdot 2\cdot 1\cdot\dfrac12=3$, а $DN^{2}=4+1+2\cdot 2\cdot 1\cdot\dfrac12=7$ — отрезки разные. Так что условие $AN=DN$ действительно выделяет квадрат.