Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00045674

Среднее арифметическое последовательных чисел равно полусумме первого и последнего. Пусть первые числа двух последовательностей $m$ и $n$. Тогда $Q_1=m+(k-1)/2$, $Q_2=n+(2k-1)/2$.

Равенство средних требует $m-n=k/2$. При $k=16$ это возможно: возьмём $n=1000$, $m=1008$. Средние у наборов $1008,\ldots,1023$ и $1000,\ldots,1031$ равны $1015{,}5$.

При $k=15$ потребовалось бы $m-n=7{,}5$, но разность двух целых чисел целая. Поэтому равенство невозможно.

В пункте в среднее объединённого набора учитывает разные количества членов: $Q=(kQ_1+2kQ_2)/(3k)=(Q_1+2Q_2)/3$. Значит, искомая разность равна $|(Q_1+Q_2)/2-Q|=|Q_1-Q_2|/6$.

Чтобы в наборах не было одинаковых чисел, их целочисленные отрезки должны не пересекаться. Ближе всего средние при соседних отрезках без пропуска. Тогда расстояние между их серединами равно $k/2+2k/2=3k/2$. Любой пропуск его увеличивает.

Следовательно, разность средних не меньше $(3k/2)/6=k/4\ge10/4=2{,}5$.

Граница достижима при $k=10$: первый набор $1000,\ldots,1009$, второй $1010,\ldots,1029$. Их средние $1004{,}5$ и $1019{,}5$, обычное среднее этих двух чисел $1012$, а среднее всех тридцати чисел $1014{,}5$. Модуль разности равен $2{,}5$. Все числа четырёхзначные и различны.