Задание 20 ЕГЭ по математике №00045670

Первая секция даёт 100 см. Каждая следующая удлиняет забор на 90 см при нахлёсте 10 см или на 70 см при нахлёсте 30 см. Поэтому любую возможную длину можно записать как $L=100+70a+90b$, где $a,b$ — неотрицательные целые числа.

В пункте а нужна длина 450 см: после первой секции остаётся $450-100=350=5\cdot70$ см. Берём шесть секций и пять нахлёстов по 30 см. Проверка: $6\cdot100-5\cdot30=450$ см.

В пункте б равенство $100+70a+90b=500$ после деления на 10 даёт $7a+9b=40$. Здесь $0\le b\le4$. По остатку от деления на 7 получаем $2b\equiv5\pmod7$, то есть $b\equiv6\pmod7$. Среди $0,1,2,3,4$ таких чисел нет. Значит, 500 см получить нельзя.

Для пункта в измерим прибавку к первой секции десятками сантиметров: $q=(L-100)/10=7a+9b$. Покажем, что 47 получить нельзя, а все целые числа начиная с 48 — можно.

Если $7a+9b=47$, то $0\le b\le5$, а по модулю 7 снова $2b\equiv5$, то есть $b\equiv6$. Это невозможно. Значит, забор длиной $100+10\cdot47=570$ см не собирается.

Вот семь последовательных допустимых прибавок: $48=3\cdot7+3\cdot9$, $49=7\cdot7$, $50=2\cdot7+4\cdot9$, $51=6\cdot7+9$, $52=7+5\cdot9$, $53=5\cdot7+2\cdot9$, $54=6\cdot9$.

Любое целое число не меньше 48 получается из одного из чисел 48–54 добавлением некоторого количества семёрок. Это означает добавление секций с нахлёстом 30 см, поэтому все такие длины доступны.

Таким образом, $L=100+10\cdot48=580$ см подходит, и все $L+10n$ тоже. Меньшая собираемая длина не подходит: она кратна 10 см, и среди её последующих прибавок обязательно встретится несобираемая длина 570 см. Значит, минимум равен 580 см.