Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00043862

Разложим сумму: $9177=3\cdot 3059=3\cdot 7\cdot 437=3\cdot 7\cdot 19\cdot 23$.

Пункт а. Последовательность $x,\ 7x,\ 49x$ имеет сумму $57x$, а $57=3\cdot 19$ делит $9177$: $x=\dfrac{9177}{57}=161$. Получаем $161,\ 1127,\ 7889$; проверка: $161+1127+7889=9177$, каждый член в $7$ раз больше предыдущего. Итак, да.

Пункт б. Возьмём чередование $7x,\ x,\ 7x,\ x,\ 7x$: сумма $23x$, и $23$ делит $9177$: $x=399$. Последовательность $2793,\ 399,\ 2793,\ 399,\ 2793$, сумма $3\cdot 2793+2\cdot 399=8379+798=9177$. Итак, да.

Пункт в. Если $b=7a$, то $a$ и $b$ одной чётности ($7a-a=6a$ чётно). Значит, все члены последовательности одной чётности. Сумма $9177$ нечётна, поэтому все члены нечётные и их количество нечётно: $n=2m+1$.

Любые два соседних члена — натуральные числа, одно из которых в $7$ раз больше другого, поэтому их сумма не меньше $1+7=8$. Разобьём первые $2m$ членов на $m$ пар соседей, последний член не меньше $1$:

$$9177\ge 8m+1,\qquad m\le 1147,\qquad n\le 2\cdot 1147+1=2295.$$

Пример: $1,7,1,7,\ldots,7,1$ — $1148$ единиц и $1147$ семёрок, всего $2295$ членов. Сумма $1148+7\cdot 1147=1148+8029=9177$.

Наибольшее количество членов — $2295$.