Метод интервалов на ЕГЭ профиль — главный инструмент для рациональных неравенств: вместо умножения на знаменатель отмечаешь нули на прямой и читаешь знак выражения на каждом куске. Он нужен в задании 16 на 2 балла, а в базовом экзамене — в задании 18.
Суть простыми словами
Метод работает для неравенств «выражение > 0» (или < 0, ≥ 0, ≤ 0), где выражение — произведение или дробь. Знак произведения зависит только от знаков множителей, а они меняются лишь в нулях.
Порядок действий: перенеси всё в одну сторону, справа оставь 0; разложи числитель и знаменатель на множители; отметь нули на прямой; найди знак на одном промежутке и иди дальше, меняя знак в каждом простом нуле; выбери промежутки с нужным знаком.
Пример — задача дня Адиля от 07.07.2026: (x − 3) / (x + 1) ≥ 0. Нули: x = 3 у числителя и x = −1 у знаменателя. При x = 0 дробь равна −3, значит средний промежуток отрицательный, а крайние положительные. Точка 3 входит в ответ (неравенство нестрогое), точка −1 — нет (на ноль делить нельзя). Ответ: (−∞; −1) ∪ [3; +∞).
Обобщённый метод интервалов — тот же приём для неравенств с логарифмами и показательными функциями: множители вида logₐ f − logₐ g заменяют на множители того же знака, и неравенство становится рациональным.
Где встречается на экзамене
- Задание 16 ЕГЭ профиль — неравенство: логарифмическое, показательное, дробно-рациональное или их сочетание. Развёрнутый ответ, 2 балла. В 2026 году это было задание 15.
- Задание 18 ЕГЭ база — неравенства в базовом экзамене: спецификация называет рациональные, показательные и логарифмические. 1 балл.
Где ошибаются
- Умножают на знаменатель. Адиль называет это частой ошибкой: нельзя «умножать обе части на (x + 1), чтобы «убрать» дробь», потому что знак (x + 1) неизвестен, а при отрицательном множителе знак неравенства меняется (07.07.2026).
- Закрашивают нули знаменателя. При «≥» и «≤» в ответ входят нули числителя, нули знаменателя не входят никогда.
- Меняют знак в точке чётной кратности. В (x − 1)²(x + 2) ≤ 0 при переходе через 1 знак не меняется, а сама точка 1 даёт ноль и входит в ответ: (−∞; −2] ∪ {1}.
- Оставляют множитель с минусом перед x. В (2 − x)(x + 5) > 0 удобнее сначала вынести минус: (x − 2)(x + 5) < 0, ответ (−5; 2). Иначе знаки на крайних промежутках получаются перевёрнутыми.
Шпаргалка за 30 секунд
1
- Что делать
- Справа 0, всё остальное слева
2
- Что делать
- Множители вида (x − a), коэффициент при x положительный
3
- Что делать
- Нули числителя — закрашенные при ≥ и ≤, нули знаменателя — всегда выколотые
4
- Что делать
- Знак на одном промежутке, дальше смена в каждом простом нуле
5
- Что делать
- Нули чётной кратности: знак не меняется, точку проверить отдельно
О задании 15 варианта 2026 года, нынешнем шестнадцатом, Адиль написал: «Все типы решались и методом интервалов, и рационализацией» (16.06.2026).
Расставлять знаки на прямой руками помогает тренажёр «Квадратные неравенства: светофор, метод интервалов». Когда это станет привычным, переходи к теме логарифмические неравенства ЕГЭ профиль — там тот же метод с заменой множителей. Если знаки «прыгают» и непонятно почему, это разбирают на пробном занятии.