Задание 20 ЕГЭ по математике №00043861

Состояние $(x;y;z)$, сначала $(95;104;0)$, всего $199$ камней. Ход: две коробки теряют по камню, третья получает два.

Инвариант. Разность количеств в любых двух коробках меняется на $0$ или на $\pm 3$: если обе теряли по камню — на $0$; если одна потеряла $1$, а другая получила $2$ — на $3$. Значит, разности по модулю $3$ сохраняются. В начале $x-y=-9\equiv 0$, $y-z=104\equiv 2\pmod 3$.

Пункт а. Цель $(0;0;199)$: $x-y=0$, $y-z=-199\equiv 2\pmod 3$ — подходит. Ходы: A — «из 1-й и 2-й в 3-ю», C — «из 2-й и 3-й в 1-ю». Делаем $95$ ходов A: $(0;9;190)$. Затем три раза пару «C, затем A»: каждая пара меняет количества на $(+1;-2;+1)$, получаем $(3;3;193)$. Затем три хода A: $(0;0;199)$. Итак, да.

Пункт б. $(100;50;49)$: $x-y=50\equiv 2\not\equiv 0\pmod 3$. Итак, нет.

Пункт в. Пусть $x=2$. Тогда $y\equiv x=2$ и $z\equiv y-2\equiv 0\pmod 3$. Значит, $y\ge 2$ и $z=199-2-y\le 195$.

Строим $(2;2;195)$: $93$ хода A — $(2;11;186)$; три пары «C, затем A» — $(5;5;189)$; три хода A — $(2;2;195)$. Ни одна коробка не становится отрицательной.

Наибольшее число камней в третьей коробке — $195$.