Задание 20 ЕГЭ по математике №00043865

Из условия $q\lt m$ следует, что из $k$ кг делают наибольшее возможное число деталей: $n=\left[\dfrac{k}{m}\right]$.

Пусть новая деталь весит $x$ кг, старая $x+0{,}1$ кг, из $18$ кг выходит $N$ новых деталей, а из $21$ кг — $N-2$ старых:

$$\dfrac{18}{N+1}\lt x\le\dfrac{18}{N},\qquad \dfrac{21}{N-1}-0{,}1\lt x\le\dfrac{21}{N-2}-0{,}1.$$

Когда это совместно. Первое условие: $\dfrac{21}{N-1}-0{,}1\lt\dfrac{18}{N}$. Умножаем на $10N(N-1)$: $210N-N(N-1)\lt 180(N-1)$, $N^2-31N-180\gt 0$, $(N-36)(N+5)\gt 0$, $N\gt 36$.

Второе: $\dfrac{18}{N+1}\lt\dfrac{21}{N-2}-0{,}1$. Умножаем на $10(N+1)(N-2)$: $180(N-2)\lt 210(N+1)-(N+1)(N-2)$, $N^2-31N-572\lt 0$, $(N-44)(N+13)\lt 0$, $N\lt 44$.

(При $N=36$ и $N=44$ концы совпадают: $\dfrac{21}{35}-0{,}1=\dfrac{18}{36}=0{,}5$ и $\dfrac{18}{45}=\dfrac{21}{42}-0{,}1=0{,}4$, но один конец открытый, и пересечение пусто.)

Итак, $37\le N\le 43$.

Пункт а. «$50$ деталей хватает, а $51$ — нет» означает $N=50$ — вне промежутка. Итак, нет.

Пункт б. $N=32\lt 37$. Итак, нет.

Пункт в. Из $10$ кг выйдет $n=\left[\dfrac{10}{x}\right]$ деталей. При всех допустимых $x$: $x\le\dfrac{18}{N}\le\dfrac{18}{37}$, поэтому $\dfrac{10}{x}\ge\dfrac{370}{18}\approx 20{,}6$; и $x\gt\dfrac{18}{N+1}\ge\dfrac{18}{44}$, поэтому $\dfrac{10}{x}\lt\dfrac{440}{18}\approx 24{,}4$. Значит, $20\le n\le 24$.

Все эти значения достигаются:

$x=0{,}485$: $\left[\dfrac{18}{0{,}485}\right]=37$, $\left[\dfrac{21}{0{,}585}\right]=35$, $\left[\dfrac{10}{0{,}485}\right]=20$;

$x=0{,}47$: $38$, $\left[\dfrac{21}{0{,}57}\right]=36$, $\left[\dfrac{10}{0{,}47}\right]=21$;

$x=0{,}44$: $40$, $\left[\dfrac{21}{0{,}54}\right]=38$, $\left[\dfrac{10}{0{,}44}\right]=22$;

$x=0{,}42$: $42$, $\left[\dfrac{21}{0{,}52}\right]=40$, $\left[\dfrac{10}{0{,}42}\right]=23$;

$x=0{,}41$: $43$, $\left[\dfrac{21}{0{,}51}\right]=41$, $\left[\dfrac{10}{0{,}41}\right]=24$.

В каждой строке новых деталей из $18$ кг на две больше, чем старых из $21$ кг. Итак, $n=20,\ 21,\ 22,\ 23,\ 24$.