Задание 20 ЕГЭ по математике №00043864

Условие $q\lt m$ означает, что из $k$ кг сделано наибольшее возможное число деталей: $n=\left[\dfrac{k}{m}\right]$ (целая часть).

Пусть новая деталь весит $x$ кг, старая — $x+0{,}2$ кг. Обозначим через $N$ число новых деталей из $63$ кг. Тогда старых из $64$ кг $N-2$, и

$$N\le\dfrac{63}{x}\lt N+1\ \Leftrightarrow\ \dfrac{63}{N+1}\lt x\le\dfrac{63}{N};$$

$$N-2\le\dfrac{64}{x+0{,}2}\lt N-1\ \Leftrightarrow\ \dfrac{64}{N-1}-0{,}2\lt x\le\dfrac{64}{N-2}-0{,}2.$$

При каких $N$ промежутки пересекаются. Нужно, чтобы левый конец каждого был меньше правого конца другого.

Первое: $\dfrac{64}{N-1}-0{,}2\lt\dfrac{63}{N}$. Умножим на $5N(N-1)\gt 0$: $320N-N(N-1)\lt 315(N-1)$, то есть $N^2-6N-315\gt 0$, $(N-21)(N+15)\gt 0$, $N\gt 21$.

Второе: $\dfrac{63}{N+1}\lt\dfrac{64}{N-2}-0{,}2$. Умножим на $5(N+1)(N-2)\gt 0$: $315(N-2)\lt 320(N+1)-(N+1)(N-2)$, то есть $N^2-6N-952\lt 0$, $(N-34)(N+28)\lt 0$, $N\lt 34$.

Значит, $22\le N\le 33$.

Пункт а. «$15$ деталей хватает, а на $16$ — нет» означает $N=15$. Но $15\lt 22$. Проверим и напрямую: при $N=15$ $x\in(3{,}9375;\ 4{,}2]$, а из условия на старые детали $x\in(4{,}37;\ 4{,}72]$ — не пересекаются. Итак, нет.

Пункт б. $N=40\gt 33$. Напрямую: $x\in(1{,}536;\ 1{,}575]$ и $x\in(1{,}44;\ 1{,}49]$ — не пересекаются. Итак, нет.

Пункт в. Из $80$ кг выйдет $n=\left[\dfrac{80}{x}\right]$ новых деталей. Так как $N\ge 22$, имеем $x\le\dfrac{63}{N}\le\dfrac{63}{22}$, поэтому

$$\dfrac{80}{x}\ge\dfrac{80\cdot 22}{63}=\dfrac{1760}{63}\approx 27{,}9,\qquad n\ge 27.$$

Значение $27$ достигается при $x=\dfrac{63}{22}$. Проверим: из $63$ кг ровно $22$ детали (остаток $0\lt x$); старая деталь весит $\dfrac{63}{22}+\dfrac15=\dfrac{337}{110}$ кг, из $64$ кг выходит $\left[\dfrac{7040}{337}\right]=20$ деталей ($337\cdot 20=6740\le 7040\lt 7077=337\cdot 21$) — на две меньше; из $80$ кг $\left[\dfrac{1760}{63}\right]=27$ деталей ($63\cdot 27=1701\le 1760\lt 1764$).

Наименьшее $n=27$.