ID: 00022445
Источник: ФИПИ
Общая масса всех камней: $4\cdot 7 + 9\cdot 22 = 28 + 198 = 226$ тонн. Если в одной группе масса $S$, то в другой $226 - S$, и разность равна $|226 - 2S|$. Заметь сразу важное: $226 - 2S$ всегда чётно, ведь и $226$, и $2S$ чётны. Значит, разность масс двух групп всегда чётна.
а) Нужна разность $8$ — число чётное, так что по чётности препятствий нет, пробуем собрать. Пусть в меньшей группе $a$ «семёрок» и $b$ «двадцатидвоек», её масса $7a + 22b$. Хотим $7a + 22b = 109$ (тогда во второй группе $226 - 109 = 117$, и разность $117 - 109 = 8$). Возьмём $b = 4$: $22\cdot 4 = 88$, остаётся $109 - 88 = 21 = 7\cdot 3$, то есть $a = 3$. И $a=3\le 4$, $b=4\le 9$ — камней хватает. Итак, группа из $3$ камней по $7$ и $4$ камней по $22$ весит $109$, другая — $117$, разность $8$. Можно.
б) Равные группы означают разность $0$, то есть в каждой по $113$ тонн. Но $113$ нечётно, а масса группы $7a + 22b$ по чётности совпадает с $a$ (ведь $22b$ всегда чётно). Значит, для нечётной массы число $a$ должно быть нечётным: $a \in \{1, 3\}$. При $a=1$: $22b = 113 - 7 = 106$ — не делится на $22$. При $a=3$: $22b = 113 - 21 = 92$ — тоже не делится на $22$. Собрать ровно $113$ не удаётся, поэтому разбить камни на две равные по массе группы нельзя.
в) Разность равна $|226 - 2S| = 2\,|113 - S|$, где $S = 7a+22b$ — масса одной из групп. Чтобы разность была наименьшей положительной, надо подобрать достижимую массу $S$ как можно ближе к $113$ (но не равную ему — мы видели, что $113$ недостижимо). Смотрим массы рядом со $113$: при $b=5$ получаем $S=110$ (это $5$ камней по $22$), при $b=4,\,a=4$ получаем $S = 88 + 28 = 116$. Обе отстоят от $113$ на $3$. А значения $111, 112, 114, 115$ вида $7a+22b$ не получаются (проверяется перебором $a$ и $b$). Значит, ближе, чем на $3$, к $113$ не подобраться, и наименьшая разность равна $2\cdot 3 = 6$.
Покажем пример: группа из $5$ камней по $22$ весит $110$, вторая группа (все остальные — $4$ камня по $7$ и $4$ камня по $22$) весит $28 + 88 = 116$, разность $116 - 110 = 6$. Всё сходится. Наименьшая положительная разность — $6$ тонн.