Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00045679

Пусть исходное число $n$, новое $T(n)$. Для равенства сумм можно взять $109$ чисел $100$ и одно $111$. Все они сохраняются, а число $100$ одновременно даёт нуль в десятках и единицах. Пункт а выполнен.

Проверим, возможно ли уменьшение в восемь раз. Если есть нуль, цифры переставляются по убыванию, поэтому $T(n)\ge n$. Если нуля нет, обозначим цифры в порядке $a\ge b\ge c\ge1$. Тогда $n\le100a+10b+c$, а $T(n)=100c+10b+a$.

Следовательно, $8T(n)-n\ge799c+70b-92a\ge799+70-828=41\gt0$. Для каждого числа $n\lt8T(n)$, значит и исходная сумма меньше восьмикратной новой. В пункте б ответ отрицательный.

Теперь пункт в. Сначала поймём, какой набор выгоден. Отношение исходной суммы к новой тем больше, чем сильнее числа уменьшаются при перестановке. Сильнее всего уменьшается $911$: оно превращается в $119$. Но хотя бы одно число с нулём взять придётся, а такие числа не уменьшаются; меньше всего мешает $100$ — оно самое маленькое и закрывает оба требования про нуль. Отсюда кандидат: одно число $100$ и $109$ чисел $911$. Для него суммы равны $100+109\cdot911=99399$ и $100+109\cdot119=13071$.

Обозначим отношение этих сумм $R=\dfrac{99399}{13071}=\dfrac{33133}{4357}$; заметь, что $7\lt R\lt8$. Докажем, что больше получить нельзя: для этого оценим $n-RT(n)$ для каждого числа набора.

Для числа с нулём $n-RT(n)\le(1-R)n\le100(1-R)$. Равенство достигается на $100$.

Для числа без нуля, с цифрами $a\ge b\ge c\ge1$, имеем $n-RT(n)\le(100-R)a+(10-10R)b+(1-100R)c$. Первый коэффициент положителен, два других отрицательны, поэтому максимум достигается при $a=9$, $b=c=1$, то есть на $n=911$, $T(n)=119$.

Этот максимум равен $911-119R$ и больше значения для чисел с нулём: разность $(911-119R)-100(1-R)=811-19R\gt0$.

В наборе обязательно есть хотя бы одно число с нулём. Для него используем первую оценку, для остальных $109$ — общую. Получаем $\sum n-R\sum T(n)\le100(1-R)+109(911-119R)=99399-13071R=0$.

Значит, $\sum n\le R\sum T(n)$ для любого набора, то есть отношение сумм не больше $R$. Равенство достигается на наборе-кандидате: одно число $100$ и $109$ чисел $911$. Первое обеспечивает оба требуемых разряда нуля, остальные не имеют нулей.

Наибольшее отношение равно $\dfrac{33133}{4357}$: доказана и верхняя граница, и её достижимость.