Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00045675

Пусть последовательности начинаются с целых чисел $m,n$. Тогда $Q_1=m+(k-1)/2$, $Q_2=n+(2k-1)/2$. Равенство средних возможно только при $m-n=k/2$.

При $k=12$ возьмём первую последовательность $1006,\ldots,1017$, вторую $1000,\ldots,1023$: обе имеют среднее $1011{,}5$. Поэтому в пункте а — да.

При $k=25$ потребовалась бы целая разность $m-n=12{,}5$, что невозможно. В пункте б — нет.

Среднее всех членов равно $(Q_1+2Q_2)/3$, поскольку во втором наборе вдвое больше чисел. Поэтому искомый модуль равен $|Q_1-Q_2|/6$.

Для максимального расстояния между средними один блок нужно сдвинуть к минимальному четырёхзначному числу $1000$, другой — к максимальному $9999$. Независимо от того, какой из двух блоков находится слева, расстояние между средними не больше $9999-1000-(k-1)/2-(2k-1)/2=9000-3k/2$.

Значит, модуль не больше $1500-k/4$. При $k\ge10$ максимум этой границы равен $1500-10/4=1497{,}5$.

Достижимость: $k=10$, первая последовательность $1000,\ldots,1009$, вторая $9980,\ldots,9999$. Средние $1004{,}5$ и $9989{,}5$ отличаются на $8985$, поэтому искомый модуль $8985/6=1497{,}5$. Наборы не пересекаются, все числа четырёхзначные.