Чёрный маркер стоит 23 рубля, синий — 27 рублей, красный — 31 рубль, зелёный — 35 рублей. На 1000 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если n индекс 1, n индекс 2, n индекс 3, n индекс 4 — количество купленных маркеров какого-то цвета и n индекс 1 больше или равно n индекс 2 больше или равно n индекс 3 больше или равно n индекс 4, то n индекс k минус n индекс k плюс 1 меньше или равно 2 (для k равно 1; 2; 3 ). а) Можно ли купить 30 маркеров? б) Можно ли купить 40 маркеров? в) Какое наименьшее количество маркеров можно купить, если сдача с покупки будет меньше стоимости самого дешёвого маркера?

Задание 20 ЕГЭ по математике №00045672

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Задачи с историей

№2. Задание 20

ID: 00045672

Чёрный маркер стоит 23 рубля, синий — 27 рублей, красный — 31 рубль, зелёный — 35 рублей. На 1000 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если $$n_1$$ , $$n_2$$ , $$n_3$$ , $$n_4$$ — количество купленных маркеров какого-то цвета и $n_1\geq n_2\geq n_3\geq n_4$ , то $n_k-n_{k+1}\leq2$ (для $k=1;\ 2;\ 3$ ).

а) Можно ли купить 30 маркеров?

б) Можно ли купить 40 маркеров?

в) Какое наименьшее количество маркеров можно купить, если сдача с покупки будет меньше стоимости самого дешёвого маркера?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Упорядочим четыре количества маркеров по убыванию: $m_1\ge m_2\ge m_3\ge m_4$ . Из условия каждая соседняя разность не больше 2, поэтому $m_1-m_4\le6$ , $m_2-m_3\le2$ .

При фиксированных количествах наибольшая стоимость получается, если большее количество относится к более дорогому цвету: обмен таких количеств изменяет стоимость на произведение разностей цены и количества. Поэтому максимум не больше $$35m_1+31m_2+27m_3+23m_4$$ .

Если $$N=m_1+m_2+m_3+m_4$$ , эту сумму запишем как $29N+6(m_1-m_4)+2(m_2-m_3)\le29N+40$ . Аналогично наименьшая стоимость не меньше $$29N-40$$ .

В пункте а можно взять 6 чёрных, 7 синих, 8 красных, 9 зелёных. Всего 30, соседние количества различаются на 1. Стоимость $6\cdot23+7\cdot27+8\cdot31+9\cdot35=138+189+248+315=890\le1000$ . Значит, купить 30 можно.

Для 40 маркеров даже нижняя оценка стоимости равна $29\cdot40-40=1120\gt1000$ . Поэтому купить 40 нельзя.

В пункте в сдача должна быть меньше 23 рублей, то есть стоимость больше 977 рублей. Если $N\le32$ , верхняя оценка даёт $29\cdot32+40=968$ , чего недостаточно. Значит, требуется хотя бы 33 маркера.

Покажем достижимость: 6 чёрных, 7 синих, 9 красных и 11 зелёных дают 33 маркера. После упорядочивания $$11,9,7,6$$ , соседние разности $$2,2,1$$ допустимы. Стоимость $$138+189+279+385=991$$ , сдача 9 рублей, и $9\lt23$ .

Итак, минимум 33. Проверка важна в обе стороны: построенный набор подходит, а оценка стоимости исключает все меньшие количества независимо от распределения по цветам.

Ответ

а) Да.

б) Нет.

в) $$33$$ .

Другие задания по теме «Задачи с историей» (8)