Global EE

Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00045677

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Последовательности и прогрессии

№2. Задание 20

ID: 00045677

Маша написала программу, которая по заданному ей одному натуральному числу $D$ $(D\geq2)$ выдаёт ряд чисел $n_i$ $(i=1;\ 2;\ 3\ldots\ 999;\ 1000)$ по следующим правилам:

1) $n_1=1000-6D$,

2) для всех $k\geq1$: если $n_k\gt 6D$, то $n_{k+1}=n_k-6D$, иначе $n_{k+1}=(n_k-6D)^2$.

а) Может ли в ряду полученных чисел быть число 200?

б) Может ли в ряду полученных чисел быть число 550?

в) Какое количество различных чисел будет в полученном ряду, если $D=28$?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Все члены сохраняют остаток $4$ при делении на $6$. Это верно для $n_1=1000-6D$, сохраняется при вычитании $6D$ и при возведении в квадрат, потому что $4^2$ тоже имеет остаток $4$.

Число $200$ имеет остаток $2$, поэтому появиться не может. Число $550$ можно получить первым: при $D=75$ имеем $1000-450=550$.

Для $D=28$ шаг и порог равны $168$. Сначала получаем $832,664,496,328,160$. Следующий член $(160-168)^2=64$, а после него $(64-168)^2=10816$.

Далее вычитаем $168$, пока не вернёмся к $64$: $10816=168\cdot64+64$. Участок от $10816$ до $64$ включает $65$ различных чисел. После $64$ ещё раз появляется $10816$, поэтому этот участок образует цикл.

Пять начальных чисел имеют остаток $160$ по модулю $168$, а все числа цикла — остаток $64$. Значит, совпадений между ними нет, и всего различных значений $5+65=70$.

Проверка учёта: число $64$, появившееся до $10816$, уже входит в цикл и не должно быть добавлено ещё раз. Все $70$ значений появляются задолго до тысячного члена.

Ответ

а) Нет.

б) Да.

в) $70$.

Другие задания по теме «Последовательности и прогрессии» (8)