Миша написал программу, которая по заданному ей одному натуральному числу D левая круглая скобка D больше или равно 2 правая круглая скобка выдаёт ряд чисел n индекс i левая круглая скобка i равно 1; 2; 3… 999; 1000 правая круглая скобка по следующим правилам: 1) n индекс 1 равно 1000 минус 6D, 2) для всех k больше или равно 1: если n индекс k 6D, то n индекс k плюс 1 равно n индекс k минус 6D, иначе n индекс k плюс 1 равно левая круглая скобка n индекс k минус 6D правая круглая скобка в квадрате. а) Может ли в ряду полученных чисел быть число 140? б) Может ли в ряду полученных чисел быть число 190? в) Какое количество различных чисел будет в полученном ряду, если D равно 32?

Последовател… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00045676

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Последовательности и прогрессии

№2. Задание 20

ID: 00045676

Миша написал программу, которая по заданному ей одному натуральному числу $$D$$ $(D\geq2)$ выдаёт ряд чисел $$n_i$$ $(i=1;\ 2;\ 3\ldots\ 999;\ 1000)$ по следующим правилам:

1) $$n_1=1000-6D$$ ,

2) для всех $k\geq1$ : если $n_k\gt 6D$ , то $n_{k+1}=n_k-6D$ , иначе $n_{k+1}=(n_k-6D)^2$ .

а) Может ли в ряду полученных чисел быть число 140?

б) Может ли в ряду полученных чисел быть число 190?

в) Какое количество различных чисел будет в полученном ряду, если $$D=32$$ ?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Обрати внимание на остатки при делении на $$6$$ . Первое число $$1000-6D$$ имеет остаток $$4$$ . Вычитание $$6D$$ сохраняет этот остаток, а квадрат числа с остатком $$4$$ тоже имеет остаток $$4$$ , поскольку $$4^2=16$$ .

По индукции все числа ряда имеют остаток $$4$$ . Число $$140$$ имеет остаток $$2$$ , поэтому в пункте а оно появиться не может.

Число $$190$$ может появиться сразу: при $$D=135$$ имеем $$n_1=1000-810=190$$ . Условие $D\ge2$ выполнено.

Для пункта в $$D=32$$ , значит $$6D=192$$ . Начало ряда: $$808,616,424,232,40$$ . Это пять различных чисел с остатком $$40$$ при делении на $$192$$ .

После $$40$$ правило даёт $$(40-192)^2=152^2=23104$$ . Затем идёт последовательное вычитание $$192$$ до числа $$64$$ , поскольку $23104=192\cdot120+64$ . Этот участок содержит $$121$$ различное число.

После $$64$$ получаем $$(64-192)^2=128^2=16384$$ . Но $16384=23104-35\cdot192$ уже встречалось на предыдущем участке. Дальнейшее вычитание приводит обратно к $$64$$ , и цикл повторяется.

Первые пять чисел не пересекаются со вторым участком: их остаток $$40$$ , а у всех чисел участка остаток $$64$$ . Поэтому всего $$5+121=126$$ различных чисел.

Проверка длины: уже первые $$126$$ членов содержат оба участка, а $$127$$ -й повторяет прежнее число. Тысяча членов включает весь цикл и новых чисел больше не добавляет.

Ответ

а) Нет.

б) Да.

в) $$126$$ .

Другие задания по теме «Последовательности и прогрессии» (8)