Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00045678

Обозначим исходное число через $n$, преобразованное через $T(n)$. В пункте а можно взять $99$ чисел $100$ и одно $111$. Они не меняются при перестановке, а все три требования о наличии нулей выполнены. Суммы равны.

Для пункта б докажем $T(n)\lt9n$ для каждого числа. Если нуля нет, цифры упорядочиваются по возрастанию, поэтому $T(n)\le n$. Если нуль есть, число имеет вид $100a+b$ или $100a+10b$, где $1\le a\le9$, $0\le b\le9$.

Если $b\ge a$, для первого вида $9n-T(n)=890a-91b\ge890-819=71\gt0$; для второго $9n-T(n)=890a-10b\gt0$. Если $b\lt a$, получаем соответственно $9n-T(n)=800a-b\gt0$ и $800a+80b\gt0$. Значит, и сумма новых чисел меньше девятикратной исходной суммы.

Для точного максимума возьмём $R=30067/3661$, причём $8\lt R\lt9$. Сравнивать отношения сумм удобно через величину $T(n)-Rn$: достаточно доказать, что сумма этих величин не положительна.

Среди чисел без нуля $T(n)-Rn\le(1-R)n\le111(1-R)$; максимум достигается на $111$.

Среди чисел с нулём в единицах максимум достигается на $190$. Действительно, для $n=100a+10b$, $b\ge a$, имеем $T(n)-Rn=(100-10R)b+(10-100R)a$: первый коэффициент положителен, второй отрицателен, поэтому максимум при $b=9,a=1$. Для $b\lt a$ оба коэффициента отрицательны, максимум не больше значения на $100$. Значение на $190$ больше него на $810-90R\gt0$.

Среди чисел с нулём в десятках максимум достигается на $109$. Для $n=100a+b$, $b\ge a$, получаем $(100-R)b+(10-100R)a$, максимум при $b=9,a=1$. Если $b\lt a$, выражение $(100-100R)a+(10-R)b$ не больше $-700a+18\le-682$, тогда как на $109$ оно равно $910-109R\gt-71$. Значит, этот случай максимум не улучшает.

Значение на $109$ больше значения на $190$ на $81R$ и больше значения на $111$ на $799+2R$. Поэтому среди всех чисел общий максимум достигается на $109$.

В наборе обязательно есть число с нулём в единицах и отдельное число без нулей. Для них применяем соответствующие оценки, для остальных $98$ — общую. Получаем $\sum T(n)-R\sum n\le98(910-109R)+(910-190R)+(111-111R)=90201-10983R=0$.

Равенство достигается на $98$ числах $109$, одном $190$ и одном $111$. Исходная сумма $98\cdot109+190+111=10983$, новая $99\cdot910+111=90201$. Их отношение $90201/10983=30067/3661$. Все условия о трёх типах чисел соблюдены, поэтому это наибольшее возможное отношение.